$a)$ 

Vì $ABCD$ là hình thang cân nên:

+ $AD = BC$

+ $\widehat{ADC} = \widehat{BCD} \to \widehat{ODC} = \widehat{OCD}$

Xét $\triangle OCD$ có $\widehat{ODC} = \widehat{OCD}$

$\to \triangle OCD$ cân tại $O$

$\to OD = OC$

Ta có:

+ $OA = OD - AD$

+ $OB = OC - BC$

Mà $OD = OC$, $AD = BC \quad\text{(cmt)}$

$\to OA = OB$

$\to \triangle AOB$ cân tại $O$ (đpcm)

$b)$ 

Xét $\triangle ABD$ và $\triangle BAC$ có:

+ $AD = BC$ (do $ABCD$ là hình thang cân)

+ $\widehat{DAB} = \widehat{CBA}$ (do $ABCD$ là hình thang cân)

+ $AB$ chung

$\to \triangle ABD = \triangle BAC$ (c.g.c)

$c)$ 

Vì $\triangle ABD = \triangle BAC \quad\text{(cmt)}$

$\to \widehat{ABD} = \widehat{BAC}$ ($2$ góc tương ứng)

$\to \widehat{EBA} = \widehat{EAB}$

Xét $\triangle EAB$ có: $\widehat{EBA} = \widehat{EAB}$

$\to \triangle EAB$ cân tại $E$

$\to EA = EB$

Ta có:

+ $EC = AC - EA$

+ $ED = BD - EB$

Mà $AC = BD$ (do $ABCD$ là hình thang cân), $EA = EB \quad\text{(cmt)}$

$\to EC = ED$ (đpcm)

$d)$ 

Ta có:

+ $OA = OB \quad\text{(cmt)} \to O \in$ trung trực của $AB$

+ $EA = EB \quad\text{(cmt)} \to E \in$ trung trực của $AB$

$\to OE$ là trung trực của $AB \quad (1)$

Lại có:

+ $OC = OD \quad\text{(cmt)} \to O \in$ trung trực của $CD$

+ $EC = ED \quad\text{(cmt)} \to E \in$ trung trực của $CD$

$\to OE$ là trung trực của $CD \quad (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$

$\to OE$ là trung trực của $AB$ và $CD$ (đpcm)

$\color{#FF0000}{♡^♡}\color{#FF7F00}{𝖘}\color{#FFD700}{𝖒}\color{#00FF00}{𝖕}\color{#00BFFF}{9}\color{#0000FF}{9}\color{#9400D3}{9}\color{#FF0000}{♡^♡}$