a) Tìm tất cả số nguyên x để `x² - 6x + 2036` là số chính phương

Ta có:

`x² - 6x + 2036`
`= (x - 3)² + 2027.`

Đặt:

`(x - 3)² + 2027 = y²` (Với y là số nguyên)

`=> y² - (x - 3)² = 2027`

`[y - (x - 3)][y + (x - 3)] = 2027.`

Ta có 2027 là số nguyên tố

Trường hợp 1:

$\left \{ {{y - (x - 3) = 1} \atop {y + (x - 3) = 2027}} \right.$ 

Cộng 2 vế của hai đẳng thức:

`2y = 2028 ⇒ y = 1014`

`x - 3 = 1013 ⇒ x = 1016`

Trường hợp 2:

$\left \{ {{y - (x - 3) = -1} \atop {y + (x - 3) = -2027}} \right.$ 

Cộng 2 vế của hai đẳng thức:

`2y = -2028 ⇒ y = -1014`

`x - 3 = -1013 ⇒ x = -1010`

Vậy `x = -1010` hoặc `x = 1016`

b) Tìm tất cả số hữu tỉ n để n² + n + 6 là số chính phương

Đặt:

`n² + n + 6 = m²`

Mà m là số hữu tỉ

Nên `4n² + 4n + 24 = 4m²`

`(2n + 1)² + 23 = (2m)²`

`=>(2m - 2n - 1)(2m + 2n + 1) = 23`

Vì n, m là số hữu tỉ nên ta đặt `2m - 2n - 1 = t` ( Với t là một số hữu tỉ khác 0 )

Khi đó `2m + 2n + 1 = 23/t`

Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất:

`4n + 2 = 23/t - t`

Do đó `n = (23/t - t - 2)/4`

`n = (23 - t² - 2t)/(4t)` (Với t là số hữu tỉ khác 0)

Vậy tất cả các số hữu tỉ n cần tìm là:

`n = (23 - t² - 2t)/(4t)`  với t ∈ Q và t ≠ 0.