Xét: `log_2 (a^2 + b^2 + 9) = 1 + log_2 (3a + 2b)`

ĐK: `3a + 2b >0`

`log_2 ( a^2 + b^2 + 9) = log_2 [2(3a + 2b)]`

`<=> a^2 + b^2 + 9 = 6a + 4b`

`<=> (a-3)^2 + ( b - 2)^2 = 4`

Do đó điểm `M(a; b)` thuộc đường tròn `(C)` có tâm `I(3; 2)` và bán kính `R = 2`

Xét: `9^(-m) * 3^(-n) * 3^(- (4)/(2m + n)) + Ln [(2m + n + 2)^2 + 1] = 81`

ĐK: `2m + n <0`

Ta có: `9^(m) * 3^(-n) * 3^( - (4)/(2m + n)) = 3^(-2m-n- (4)/(2m + n)) = 3^(-(2m + n) + 4/(-(2m+n))`

Đặt `t = - (2m + n) >0`

Áp dụng BDT Cauchy:

`t + 4/t >= 2 sqrt( t * 4/t) = 4 => 3^( t + 4/t) >= 3^4 = 81`

Mặt khác:

`(2m + n + 2)^2 >=0 => (2m + n + 2)^2 +1 >= 1 => Ln [( 2m + n + 2)^2 + 1] >= Ln(1) = 0`

`9^(-m) * 3^(-n) * 3^(-(4)/(2m+n)) + Ln [(2m + n + 2)^2 + 1] >= 81 + 0 = 81`

`{( t = 4/t),( 2m + n + 2 = 0):} <=> {( - (2m + n) = 2),(2m + n + 2 = 0):} <=> 2m + n + 2 = 0`

Do đó điểm `N(m; n)` thuộc đường thẳng `Delta: 2x + y + 2 = 0`

Khoảng cách từ tâm `I(3; 2)` của đường tròn `(C)` đến đường thẳng `\Delta` là:

`d(I,Delta) = (|2 * 3 + 2 + 2|)/(sqrt(2^2 + 1^2)) = 10/(sqrt5) = 2 sqrt5`

Vì`d(I, \Delta) = 2\sqrt{5} > R = 2` nên đường thẳng `\Delta` nằm ngoài đường tròn `(C)`

Do đó GTNN của `MN` là:

`P_( min) = d(I,Delta) - R = 2 sqrt(5) - 2`

Vậy GTNN của `sqrt((a - m)^2 + (b - n)^2)` là `2sqrt(5) - 2`