$\style{background: #f5edf8; border: 1px solid #4a2a6b; border-radius: 8px; padding: 0px; display: block; width: vw; text-align: center; scale: %}{\style{background: #4a2a6b; color: white; display: block; padding: 10px 15px; border-top-left-radius: 8px; border-top-right-radius: 2px; font-weight: bold;}{\textsf{Câu hỏi $30$ điểm :v}}\style{display: block; padding: 15px 1px; color: black; }{\text{Tìm $x;y;z$ $\in \mathbb{N}$ thỏa mãn $x^2+y^2=2023^{z}+35$ }}}$

________________

`TH1: y >=2`

Nhận xét `{(2023^y vdots 7 AA y in NN**),(35 vdots 7):}`

`=> x^2+y^2 vdots 7`

`***` Bổ đề: số chính phương đồng dư `0;1;2;4(mod 7)`

Nếu `x^2 vdots 7=> {(y^2 vdots 7=>y vdots 7),(x vdots 7):}`

`=>{(x^2 vdots 49),(y^2 vdots 49):}`

`=>x^2+y^2 vdots 49`

`=> 2023^z +35 vdots 49`

Với `z>=2` thì `2023^z vdots 49,35` không chia hết `49`

`=>VP` không chia hết `49`

Mà `VT vdots 49=>` loại

`TH2: z<2`

`=>z in {0;1}`

`@z=0=>x^2+y^2=36`

`=> [({(x=6),(y=0):}),({(x=0),(y=6):}):}`

`@z=1`

`=>x^2+y^2 =2058`

Như trên,ta thấy `x;y vdots 7`

Đặt `{(x=7a),(y=7b):}`

`=> 49(a^2+b^2)=2058`

`=>a^2+b^2=42`

`=>a^2 in {0;1;4;9;16;36}`

Thử từng giá trị thấy `b notin NN`

`=>` loại

Vậy, cặp `n_o` pt là `(x;y;z) in {(0;6;0),(6;0;0)}`

____________________

$\style{background: #f5edf8; border: 1px solid #4a2a6b; border-radius: 8px; padding: 0px; display: inline-block; width: 100%; box-sizing: border-box;}{ \style{background: #4a2a2b; color: white; display: block; padding: 10px 15px; border-top-left-radius: 6px; border-top-right-radius: 6px; font-weight: bold; text-align: left;}{\text{Cách làm}} \style{display: block; padding: 15px; color: black; text-align: left;}{ \begin{matrix} \hspace{0px}\bullet \text{Hướng : Do đề là $x;y;z$ tự nhiên, ở $VP$ có cơ số $2023^z$ tự nhiên } \\ \hspace{-318px}\bullet \text{ Nên ta dùng module} \\ \hspace{-30px}\bullet \text{ Nhận thấy: $35 \vdots 1;5;7$ nên ta đối chiếu với $2023$ thấy $2023 \vdots 7$} \\ \hspace{-38px}\bullet \text{ Vì có dấu căn, ta sẽ bình phương 2 vế lên để làm mất căn.} \\ \hspace{-283px}\bullet \text{Qua đó ta dùng đồng dư $7$} \\ \hspace{-93px}\bullet \text{ Từ đó, ta rút ra được bài làm hoàn chỉnh như trên.} \end{matrix} }} $