$a)$ 

Xét tứ giác $ABDC$ có:

+ $M$ là trung điểm của $BC$ $(\text{gt})$

+ $M$ là trung điểm của $AD$ (do $D \in$ tia đối của $MA$ và $MD = MA$)

+ $BC$ cắt $AD$ tại $M$

$\to ABDC$ là hình bình hàn

Mà $\triangle ABC$ vuông tại $A$

$\to \widehat{BAC} = 90^\circ$

Xét hình bình hành $ABDC$ có $\widehat{BAC} = 90^\circ$ 

$\to ABDC$ là hình chữ nhật (đpcm)

 

$b)$

Vì $E$ đối xứng với $A$ qua $B$

$\to B$ là trung điểm của $AE$

$\to AB = BE$ $(1)$

Vì $ABDC$ là hình chữ nhật $(\text{cmt})$

$\to AB // CD$ và $AB = CD$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$

$\to BE // CD$ và $BE = CD$

Xét tứ giác $BEDC$ có $BE // CD$, $BE = CD$

$\to BEDC$ là hình bình hành (đpcm)

 

$c)$ 

Vì $BEDC$ là hình bình hành $(\text{cmt})$

$\to BC // ED$ và $BC = ED$

Vì $M$ là trung điểm của $BC$

$\to BM // ED$ và $BM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}ED \quad (3)$

Gọi $H, P$ lần lượt là trung điểm của $EK$ và $DK$

$\to EH = HK$ và $DP = PK$

Xét $\triangle KDE$ có:

+ $H$ là trung điểm $KE$

+ $P$ là trung điểm $KD$ 

$\to HP$ là đường trung bình của $\triangle KDE$

$\to HP // ED$ và $HP = \frac{1}{2}ED \quad (4)$

Từ $(3)$ và $(4)$

$\to HP // BM$ và $HP = BM$

Xét tứ giác $HPMB$ có $HP // BM$, $HP = BM$

$\to HPMB$ là hình bình hành

Xét hình bình hành $HPMB$ có $HM$ cắt $PB$ tại $K$ 

$\to K$ là trung điểm của $HM$

$\to HK = KM$

Ta có:

+ $EH = HK$ (do $H$ là trung điểm $EK$)

+ $HK = KM$ $(\text{cmt})$

$\to EH = HK = KM$

mà $EK = EH + HK$

$\to EK = KM + KM = 2KM$ (đpcm)