Gọi $E,D,I'$ là hình chiếu của $O$ trên $AB,AC,BC$

Trên $I'C$ lấy điểm $F$ sao cho $I'F =AD$, $M' = AF \cap I'D$

Xét $\Delta OCD$ và $\Delta OCI'$ có

$ \widehat{ ODC} = \widehat{ OI'C} = 90^0, OC$ chung, $\widehat{ OCD} = \widehat{OCI'}$

$$\Rightarrow \Delta OCD = \Delta OCI' (ch-gn)$$

$$\Rightarrow CD= CI' \Rightarrow \widehat{ CDI'} = \widehat{ CI'D}$$

Qua $F$ kẻ $FG \parallel AC(G \in DI')$

Khi đó có ta có $$ \widehat{ I'GF} = \widehat{ I'DC} = \widehat{ DI'C}$$

Do đó $FG = FI'$, nên $FG= AD$

Xét $\Delta GFM'$ và $\Delta DAM'$ có

$\widehat{FGM'} = \widehat{ ADM'} , GF= AD, \widehat{ GFM'} = \widehat{ DAM'}$

$$\Rightarrow \Delta GFM' = \Delta  DAM'(g-c-g)$$

Do đó $AM' = M'F$

CMTT ta có $ AE=AD, BE =BI'$

$$\Rightarrow AB = AE+BE = AD+ BI' = I'F+BI' =BF$$

Xét $\Delta ABM'$ và $\Delta FBM'$ có 

$ AB= BF, BM'$ chung, $AM' = FM'$

$$\Rightarrow  \Delta ABM' = \Delta FBM'(c-c-c)$$

Do đó $BM'$ là tia phân giác $\widehat{ABC}$, từ đó ta có $B,O,M'$ thẳng hàng

Do đó $\widehat{AM'B} = \widehat{BM'F} = 90^0$

Mà $M,M'$ đều thuộc tia $BO$ nên $M \equiv M'$

Lại có $$ M \in I'D, \ \ \ \ \ I'D \bot OC \Rightarrow MI' \bot OC $$

$$\Rightarrow I \equiv I'$$

Từ đó suy ra $OI \bot BC$