Bổ đề: Cho đa thức `P(x)` có hệ số nguyên. Với mọi số nguyên `a,b` phân biệt, ta luôn có:

`P(a)-P(b) vdots a -b`

Câu `24`

Vì `a` là nghiệm nguyên của phương trình `P(P(P(x)))=x`, ta luôn có: `P(P(P(a)))=a`

Đặt:

`@ b=P(a)`

`@ c=P(b) -> c=P(P(a))`

Suy ra `P(c)=a`

Áp dụng bổ đề ở đầu, ta có:

`P(a)-P(b) vdots a-b -> b-c vdots a-b`

`P(b)-P(c) vdots b-c -> c-a vdots b-c`

`P(c)-P(a) vdots c-a -> a-b vdots c-a`

Do đó:

`|a-b|<=|b-c|<=|c-a|<=|a-b|`

`|a-b|=|b-c|=|c-a|`

Đặt `a-b=u; b-c=v; c-a =w`

Suy ra:

`@ |u|=|v|=|w|`

`@ u+v+w=0`

Giả sử `|u|=|v|=|w|=A`

Nếu `A>0 -> u,v,w` nhận giá trị `A` hoặc `-A`

`-> u+v+w in {-3A;-A;A;3A}`

`->` Vô lý `-> A=0`

Suy ra `u=v=w=0`

Hay `a=b=c`

Vì `a=b, b=P(a)`

Suy ra `P(a)=a`

Điều này chứng tỏ `a` cũng là nghiệm phương trình `P(x)=x`

`->` ĐPCM

Câu `25`:

Xét `n=a+tk` (`t in ZZ`)

Áp dụng bổ đề ở đầu:

`P(n)-P(a) vdots n-a`

`P(a+tk)-P(a) vdots tk`

`P(a+tk)-k vdots tk`

Suy ra tồn tại một số nguyên `m` sao cho:

`P(a+tk)-k=mk`

`P(a+tk)=k(m+1)`

Suy ra `P(a+tk) vdots k`

Xét số lượng nghiệm của `P(x)=k` và `P(x)=-k`

`@` Do `P(x)` không phải đa thức hằng nên `P(x)=k` chỉ có tối đa một số hữu hạn nghiệm

`@` Tương tự, `P(x)=-k` cũng chỉ có tối đa một số hữu hạn nghiệm

Số lượng giá trị của `x` để `P(x)=+-k` là hữu hạn

Trong khi đó, vì `t` là số nguyên tùy ý chạy trên `ZZ`, nên tập hợp các số có dạng `n=a+tk` là vô hạn 

Nếu loại đi một số lượng hữu hạn các giá trị làm cho `P(n)=+-k` thì vẫn còn lại vô số giá trị của `n`

Với vô số giá trị này, ta có:

`@ P(n) vdots k`

`@ P(n) != +-k`

`@ k>1`

Do đó, `P(n)` phân tích được thành tích của hai số nguyên có trị tuyệt đối lớn hơn `1`

`-> P(n)` là hợp số

Vậy ta có ĐPCM