`a)`

`\DeltaABD` vuông tại `D`

Ta có: `BD^2+AD^2=AB^2` (Định lý Pytago)

`->BD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3(cm)`

`b)`

Xét 2 `\DeltaHDB` và `\DeltaHEA` có:

$\begin{cases} \widehat{BHD}=\widehat{AHE}\\\widehat{HDB}=\widehat{HEA}=90^o \end{cases}$

`->` `\DeltaHDB` $\backsim$ `\DeltaHEA`

`->\frac{AH}{HB}=\frac{HE}{HD}`

`->AH.HD=HB.HE`

`c)`

Từ 2 `\Delta` đồng dạng ở câu `b)`

`->\frac{BH}{BD}=\frac{AH}{AE}(1)`

Xét 2 `\DeltaAHE` và `\DeltaACD` có:

 $\begin{cases} \widehat{DAC}\text{ chung}\\\widehat{AEH}=\widehat{ADC}=90^o \end{cases}$

`->` `\DeltaAHE` $\backsim$ `\DeltaACD`

`->frac{AH}{AE}=\frac{AC}{AD}(2)`

Từ `(1)(2)` `->` `\frac{BH}{BD}=\frac{AC}{AD}`

Mà `AC=AB` (`\DeltaABC` cân tại `A`)

`->\frac{BH}{BD}=\frac{AB}{AD}`

`->\frac{BH}{AB}=\frac{BD}{AD}(3)`

Xét 2 `\DeltaABD` và `\DeltaBCE` có:

$\begin{cases} \widehat{ADB}=\widehat{BED}=90^o\\\widehat{ABD}=\widehat{BCE}\text{ (ABC cân)} \end{cases}$

`->` `\DeltaABD` $\backsim$ `\DeltaBCE`

`->\frac{BD}{AD}=\frac{EC}{BE}(4)`

Từ `(3)(4)` `->\frac{BH}{AB}=frac{EC}{BE}(5)`

Xét 2 `\DeltaAEF` và `\DeltaCEB` có:

$\begin{cases} \widehat{AEF}=\widehat{CEB}\\\widehat{FAE}=\widehat{BCE}\text{ (so le trong)} \end{cases}$

`->` `\DeltaAEF` $\backsim$ `\DeltaCEB`

`->\frac{EC}{EB}=\frac{AE}{EF}(6)`

Từ `(5)(6)` `->\frac{BH}{AB}=\frac{AE}{EF}`

Chúc bạn học tốt !!!