a)

Kẻ đường kính `BJ` của `(O)`.Gọi `M` là trung điểm `AC.`

Vì `A in (O)`, đường kính `BJ` nên `\hat{BAJ}=90^@=>JA\bot AB`

Mà `CH\bot AB` nên `JA"//"CH`$\\$

Vì `C in (O)`, đường kính `BJ` nên `\hat{BCJ}=90^@=>JC\bot BC`

Mà `AH\bot BC` nên `JC"//"AH`$\\$

Xét tứ giác AHCJ có: `JA"//"CH,JC"//"AH`

Do đó:`AHCJ` là hình bình hành(dhnb)

Suy ra:`2` đường chéo `AC,HJ` cắt nhau tại trung điểm `M` của mỗi đường

Vì `K in (O)`, đường kính `BJ` nên `\hat{BKJ}=90^@=>JK\bot BK`

Mà `BK\bot AC` nên `JK"//"AC`

Xét `ΔHJK` có `M` là trung điểm `HJ,E∈HK` thỏa mãn `ME"//"JK`

Do đó:`E` là trung điểm `HK`

Suy ra: `AC\bot HK` tại trung điểm `E` của `HK`

Suy ra:`AC` là đường trung trực của `HK`

Suy ra:`AH=AK(1)`

b)

Kẻ `CF` cắt `(O)` tại `Q`

Lập luận tương tự câu a, ta có:

`F` là trung điểm `HQ`;

`AH=AQ(2)`

Từ `(1)` và `(2)` suy ra `AK=AQ`

`=>A in ` đường trung trực `KQ`

Vì `Q,K in (O)` nên `OQ=OK=>O in` đường trung trực `KQ`

Do đó:`AO` là đường trung trực của `KQ`

Suy ra:`AO\bot KQ(3)`

Xét `ΔHKQ` có `E` là trung điểm `HK,F` là trung điểm `HQ`

Suy ra:`EF` là đường trung bình `ΔHKQ`

Suy ra:`EF"//"KQ(4)`

Từ `(3)` và `(4)` suy ra `AO\bot EF`

c)

Gọi đường thẳng qua H vuông góc với `EF` cắt trung trực `BC` tại `L`. Kẻ đường kính `AN` của `(O)`, gọi `I` là trung điểm `BC`

Vì `{:(LH\bot EF\text{(theo cách vẽ)}),(AO\bot EF\text{(câu b)}):}}=>LH"//"AO`

Vì `B,C in (O)` nên `OB=OC=>O in` đường trung trực `BC`

Mà `L in` đường trung trực `BC`(theo cách vẽ)

Nên `OL` là đường trung trực `BC`

Do đó:`OL\bot BC` tại trung điểm `I` của `BC`

Mà `AH\bot BC` nên `OL"//"AH`

Xét tứ giác AHLO có `LH"//"AO,OL"//"AH`

Do đó:`AHLO` là hình bình hành(dhnb)

Suy ra:`OL=AH`(t/c hbh)`(5)`

Vì `B in (O)`, đường kính `AN` nên `\hat{ABN}=90^@=>BN\bot AB`

Mà `CH\bot AB` nên `BN"//"CH`

Vì `C in (O)`, đường kính `AN` nên `\hat{ACN}=90^@=>CN\bot AC`

Mà `BH\bot AC` nên `CN"//"BH`

Xét tứ giác BHCN có `BN"//"CH,CN"//"BH`

Do đó:`BHCN` là hình bình hành(dhnb)

Suy ra:`2` đường chéo `BC,AN` cắt nhau tại trung điểm `I` của mỗi đường

Xét `ΔNAH` có `O` là trung điểm `AN,I` là trung điểm `HN`

Suy ra:`OI` là đường trung bình `ΔNAH`

Suy ra:`OI=1/2AH(6)`

Từ `(5)` và `(6)` suy ra `OI=1/2OL`

Mà `I` nằm giữa `O` và `L` nên `I` là trung điểm `OL`

Suy ra:`BC\bot OL` tại trung điểm `I` của `OL`

Suy ra:`BC` là đường trung trực `OL`

Do đó:`L` đối xứng với `O` qua `BC`

Mà `BC` cố định nên `L` cố định

Do đó:đường thẳng qua `H` vuông góc với `EF` đi qua điểm `L` cố định(L đối xứng với O qua BC)