`a)  Do  N` là trung điểm của `AB => AN = NB = 1/2AB  ( 1 )`

`Do  M` là trung điểm của `AC => AM = MC = 1/2AC  ( 2 )`

`mà  AB = AC  ( 3 )`

`( 1 ) ; ( 2 ) ; ( 3 ) => AN = BN = AM = MC`

Xét `triangleABM` và `triangeACN` có:

`AB = AC`

`hat{A}` chung

`AM = AN`

`=> triangleABM = triangleACN  ( c . g . c )` 

`=> BM = CN`

Xét `triangleBMC` và `triangleCNB` có:

`BC` chung

`BM = CN`

`CM = NB`

`=> triangleBMC = triangleCNB  ( c . c . c )`

`b) M` là trung điểm `BE => BM = ME`

Xét `triangleBMC` và `triangleEMA` có:

`BM = EM`

`hat{BMC} = hat{EMA}` ( đối đỉnh )

`MC = MA`

`=> triangleBMC = triangleEMA  ( c . g . c ) => BC = AE  ( 4 )`

CMTT: `=> triangleFAN = triangleCBN ( c . g . c ) => AF = BC  ( 5 )`

`( 4 ) ; ( 5 ) => AE = AF` ( đpcm )

`c) AM = AN => triangleAMN` cân tại `A => hat{AMN} = ( 180^@ - hat{A} )/2  ( 6 )`

`AB = AC => triangleABC` cân tại `A => hat{ACB} = ( 180^@ - hat{A} )/2  ( 7 )`

`( 6 ) ; ( 7 ) => hat{AMN} = hat{ACB} ` mà `2` góc nằm ở vị trí đồng vị

`=> MN //// BC  ( 8 )`

Theo CM ở câu `b:  triangleBMC = triangleEMA`

`=> hat{BCM} = hat{EAM} ` mà `2` góc nằm ở vị trí so le trong

`=> AE //// BC  ( 9 )`

Theo CM ở câu `b:  triangleCBN = triangleFAN`

`=> hat{FAN} = hat{CBN}` mà `2` góc nằm ở vị trí so le trong 

`=> AF //// BC  ( 10 )`

Lại có: `hat{A} + hat{B} + hat{C} = 180^@`

`=> hat{FAB} + hat{BAC} + hat{CAE} = 180^@`

`hay  hat{FAE} = 180^@ => E ; A ; F` thẳng hàng  `( 11 )`

`( 9 ) ; ( 10 ) ; ( 11 ) => EF //// BC  ( 12 )`

`( 8 ) ; ( 12 ) => MN //// BC` ( đpcm )