Đáp án:

a): Các cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn là $(-2, -13)$ và $(2, 7)$.

Giải thích các bước giải:

 a) $x^3 - x^2 y + x = 2x^2 - 3y - 5$

Biến đổi phương trình để cô lập $y$:

$$y(3 - x^2) = 2x^2 - x^3 - x - 5$$$$\Leftrightarrow y(x^2 - 3) = x^3 - 2x^2 + x + 5$$

Do $x \in \mathbb{Z}$ nên $x^2 - 3 \neq 0$. Do đó:

$$y = \frac{x^3 - 2x^2 + x + 5}{x^2 - 3} = \frac{x(x^2 - 3) - 2(x^2 - 3) + 4x - 1}{x^2 - 3} = x - 2 + \frac{4x - 1}{x^2 - 3}$$

Để $y \in \mathbb{Z}$ thì $(4x - 1) \ \vdots \ (x^2 - 3)$, do đó $\vert{}4x - 1\vert{} \ge \vert{}x^2 - 3\vert{}$ (với $4x - 1 \neq 0$).

• Xét $\vert{}x\vert{} \ge 5$: Khi đó $\vert{}x^2 - 3\vert{} > \vert{}4x - 1\vert{}$, phân số $\frac{4x - 1}{x^2 - 3}$ không thể là số nguyên.

• Thử trực tiếp các giá trị $x \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$:

  • Với $x = -2$: $y = (-2) - 2 + \frac{4(-2) - 1}{(-2)^2 - 3} = -4 + \frac{-9}{1} = -13$ (thỏa mãn).

  • Với $x = 2$: $y = 2 - 2 + \frac{4(2) - 1}{2^2 - 3} = 0 + \frac{7}{1} = 7$ (thỏa mãn).

  • Các giá trị $x$ còn lại đều cho $y \notin \mathbb{Z}$.