đặt `f(x)=y=(2x+1)/(x+1)(D=RR\\{-1})`

`lim_(x to +-oo) f(x)=lim_(x to+-oo) (2x+1)/(x+1)`

`=lim_(x to +-oo) (2+1/x)/(1+1/x)=2/1=2`

`=>` TCN `y=2`

`lim_(x to -1^+) f(x)`

`=lim_(x to -1^+) (2x+1)/(x+1)`

`=+oo`

`=>` TCĐ `x=-1`

do bậc mẫu và bậc tử bằng nhau nên đths ko có TCX

TH1: `M_0(x_0;y_0)` không thuộc ĐTHS `y=(2x+1)/(x+1)`

khi đó, để tổng khoảng cách từ `M` đến 2 đường TC của ĐTHS là nhỏ nhất thì `M` là giao điểm của 2 đường TC

tọa độ giao điểm của 2 đường `x=-1` và `y=2` là `(-1;2)`

khi đó, khoảng cách từ `M(-1;2)` đến `x=-1;y=2` đều là `0`

`=>` GTNN của tổng khoảng cách là `0`

TH2: `M_0(x_0;y_0)` thuộc ĐTHS `y=(2x+1)/(x+1)`

khoảng cách từ `M_0(x_0;y_0)` đến `x=-1` là:

`|x_0-(-1)|=|x_0+1|`

khoảng cách từ `M_0(x_0;y_0)` đến `y=2` là:

`|(2x_0+1)/(x_0+1)-2|=|-1/(x_0+1)|=(|-1|)/(|x_0+1|)=1/(|x_0+1|)`

tổng khoảng cách là:

`|x_0+1|+1/(|x_0+1|)>=2sqrt1=2`

(bđt Cauchy)

DBXR khi `|x_0+1|=1/(|x_0+1|)`

`<=>(x_0+1)^2=1<=>[(x_0=0),(x_0=-2):}`

khi `x_0=0` thì `y_0=1`

khi `x_0=-2` thì `y_0=3`

`=>` GTNN của tổng khoảng cách là `2` khi `M(0;1)` hoặc `M(-2;3)`