Chứng minh PTH Cauchy:

\[f(x+y)=f(x)+f(y),\forall x,y \in \mathbb{Q}(1)\] 

Giả sử tồn tại hàm số $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ thỏa mãn $(1)$

Kí hiệu $P(x,y)$ là phép thế $(x,y)$ bởi $(u,v)$ trong $(1)$

$P(0,0): f(0)=0$

$P(x,-x): f(x)=-f(-x),\forall x\in \mathbb{Q}$

Do đó $f$ là hàm lẻ trên $\mathbb{Q}$

$P(x,x): f(2x)=2f(x), \forall x\in \mathbb{Q}$

$P(x,nx): f((n+1)x)=f(x)+f(nx), \forall x\in \mathbb{Q}$ với $n\in \mathbb{N^*}$

Do đó quy nạp được $f(nx)=nf(x), \forall n \in \mathbb{N}, \forall x\in \mathbb{Q} (*)$

Mà $f$ là hàm lẻ trên $\mathbb{Q}$ nên $(*)$ đúng với mọi $n\in \mathbb{Z}$ 

Với mọi $q\in \mathbb{Q}$ viết $q=\dfrac{m}{n}$ trong đó $m\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N^*}$ khi đó ta có:

\[f(qx)=f\left(\dfrac{m}{n} . x\right)=m f\left(\dfrac{1}{n} . x\right)\] 

\[f\left(x\right)=nf\left(\dfrac{1}{n} . x\right)\]

Do đó $f(qx)=\dfrac{m}{n}f(x)=qf(x), \forall x\in \mathbb{Q}$

Cho $x=1$ vào ta được $f(q)=q(1)=a.q$ với $a=f(1)$

Do đó $f(x)=ax, \forall x\in \mathbb{Q}$ và $a=f(1)$, thử lại ta thấy thỏa mãn.

Vậy $f(x)=ax, \forall x\in \mathbb{Q}, a=f(1)$

Bài 1.

\[f(x+y)-f(x)-f(y)=xy(x+y),\forall x,y \in \mathbb{Q}(1)\] 

Giả sử tồn tại hàm số $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ thỏa mãn $(1)$

\[(1)\iff 3f(x+y)=3f(x)+3f(y)+3xy(x+y),\forall x,y \in \mathbb{Q}\] 

\[3f(x+y) -(x+y)^3=3f(x)-x^3 + 3f(y)-y^3, \forall x,y \in \mathbb{Q}(2)\] 

Xét hàm $g: \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ thỏa mãn $g(x)=3f(x)-x^3$ khi đó:

\[g(x+y)=g(x)+g(y),\forall x,y \in \mathbb{Q}\] 

Áp dụng chứng minh trên ta được: $g(x)=ax, \forall x\in \mathbb{Q}$ với $a=f(1)$ nên

\[f(x)=\dfrac{x^3+ax}{3}, \forall x\in \mathbb{Q}, a=f(1)\] 

Và thử lại $f(x)=\dfrac{x^3+ax}{3}, \forall x\in \mathbb{Q}, a=f(1)$ thỏa mãn.

Vậy $f(x)=\dfrac{x^3+ax}{3}, \forall x\in \mathbb{Q}, a=f(1)$