a) Chứng minh tứ giác $BHCK$ là hình bình hành.
Xét đường thẳng $BH$ và $CK$:
Theo giả thiết, $BD$ là đường cao của $\triangle ABC \Rightarrow BD \perp AC$, hay $BH \perp AC$
Lại có $CK \perp AC$ (đường vuông góc với $AC$ tại $C$).
Từ hai điều trên suy ra $BH \parallel CK$ (cùng vuông góc với $AC$).
Xét đường thẳng $CH$ và $BK$:
Theo giả thiết, $CE$ là đường cao của $\triangle ABC \Rightarrow CE \perp AB$, hay $CH \perp AB$.
Lại có $BK \perp AB$ (đường vuông góc với $AB$ tại $B$).
Từ hai điều trên suy ra $CH \parallel BK$ (cùng vuông góc với $AB$).
Kết luận: Tứ giác $BHCK$ có các cạnh đối song song ($BH \parallel CK$ và $CH \parallel BK$), do đó $BHCK$ là hình bình hành (điều phải chứng minh).
b) Chứng minh $H, M, K$ thẳng hàng.
Theo kết quả câu a, tứ giác $BHCK$ là hình bình hành.
Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà $M$ là trung điểm của đường chéo $BC$ (theo giả thiết).
Do đó, $M$ cũng phải là trung điểm của đường chéo còn lại là $HK$.
Vì $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $HK$ nên ba điểm $H, M, K$ thẳng hàng (điều phải chứng minh).