Giải:
Đặt $M = bc(y-z)^2 + ac(x-z)^2 + ab(x-y)^2$.
Khai triển các bình phương:
$M = bc(y^2 - 2yz + z^2) + ac(x^2 - 2xz + z^2) + ab(x^2 - 2xy + y^2)$
$M = bc(y^2 + z^2) + ac(x^2 + z^2) + ab(x^2 + y^2) - 2(bcyz + acxz + abxy)$
Từ giả thiết $ax+by+cz=0$, bình phương hai vế:
$(ax+by+cz)^2 = 0$
$\Leftrightarrow a^2x^2 + b^2y^2 + c^2z^2 + 2abxy + 2bcyz + 2acxz = 0$
$\Rightarrow -2(abxy + bcyz + acxz) = a^2x^2 + b^2y^2 + c^2z^2$
Thay vào biểu thức $M$:
$M = bc(y^2+z^2) + ac(x^2+z^2) + ab(x^2+y^2) + a^2x^2 + b^2y^2 + c^2z^2$
$M = (a^2x^2 + abx^2 + acx^2) + (b^2y^2 + aby^2 + bcy^2) + (c^2z^2 + acz^2 + bcz^2)$
$M = ax^2(a+b+c) + by^2(a+b+c) + cz^2(a+b+c)$
$M = (a+b+c)(ax^2 + by^2 + cz^2)$
Thay vào vế trái của đẳng thức:
$\dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{M} = \dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{(a+b+c)(ax^2 + by^2 + cz^2)}$
Rút gọn:
$\dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{M} = \dfrac{1}{a+b+c}$
Theo giả thiết $a+b+c = \dfrac{1}{2000}$, ta có:
$\dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{bc(y-z)^2 + ac(x-z)^2 + ab(x-y)^2} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{2000}} = 2000$
Vậy đẳng thức được chứng minh.