Gọi $NM = x$ (km), điều kiện $0 \le x \le 7$.
Khi đó:
$MB = NB - NM = 7 - x$ (km)
Xét tam giác $ANM$ vuông tại $N$, theo định lý Pythagore:
$AM = \sqrt{AN^2 + NM^2} = \sqrt{1^2 + x^2} = \sqrt{x^2 + 1}$ (km)
Thời gian tàu tự hành đi trên sông từ $A$ đến $M$:
$t_1 = \dfrac{AM}{v_1} = \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{12}$ (giờ)
Thời gian xe địa hình đi trên bờ từ $M$ đến $B$:
$t_2 = \dfrac{MB}{v_2} = \dfrac{7 - x}{13}$ (giờ)
Tổng thời gian vận chuyển mẫu vật là:
$T = t_1 + t_2 = \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{12} + \dfrac{7 - x}{13}$
$T = \left( \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{12} - \dfrac{x}{13} \right) + \dfrac{7}{13}$
Để $T$ nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$B = \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{12} - \dfrac{x}{13} = \dfrac{13\sqrt{x^2 + 1} - 12x}{156}$
Ta sẽ đánh giá biểu thức tử số: $K = 13\sqrt{x^2 + 1} - 12x$.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpki cho hai bộ số $(12; 5)$ và $(x; 1)$:
$(12x + 5)^2 \le (12^2 + 5^2)(x^2 + 1^2)$
$(12x + 5)^2 \le 169(x^2 + 1)$
Vì $x \ge 0$, hai vế đều dương, lấy căn bậc hai:
$12x + 5 \le 13\sqrt{x^2 + 1}$
$\Leftrightarrow 13\sqrt{x^2 + 1} - 12x \ge 5$
Do đó: $K \ge 5$.
Thay vào biểu thức $T$:
$T \ge \dfrac{5}{156} + \dfrac{7}{13} = \dfrac{5}{156} + \dfrac{84}{156} = \dfrac{89}{156}$ (giờ)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
$\dfrac{x}{12} = \dfrac{1}{5} \implies x = \dfrac{12}{5} = 2,4$ (km) (thỏa mãn điều kiện)
Thời gian ngắn nhất là $\dfrac{89}{156}$ giờ