Bài 1:

`a)` Ta có:

`P(x) = 7x^3 + 3x^4 - x^2 + 5x^2 - 2010 - 6x^3 - 2x^4 + 2023 - x^3` 

`= (3x^4 - 2x^4) + (7x^3 - 6x^3 - x^3) + (-x^2 + 5x^2) + (-2010 + 2023)`

`= x^4 + 4x^2 + 13`

`b)`

Hệ số cao nhất: `1`

Hệ số tự do: `13`

Bậc của `P(x): 4`

`c)`

`P(1) = 1^4 + 4 * 1^2 + 13 = 18`

`P(-2) = (-2)^4 + 4 * (-2)^2 + 13 = 45`

`d)`

Vì `x^4 \ge 0` và `x^2 \ge 0 \forall x` nên

`P(x) = x^4 + 4x^2 + 13 \ge 13 > 0 \forall x`

Do đó `P(x)` không có nghiệm

Bài 2:

`a)`

`M(x) = P(x) + Q(x)`

`= (x^2 + 2x - 5) + (x^2 - 9x + 5)`

`= x^2 + 2x - 5 + x^2 - 9x + 5`

`= 2x^2 - 7x`

`N(x) = P(x) - Q(x)`

`= (x^2 + 2x - 5) - (x^2 - 9x + 5)`

`= x^2 + 2x - 5 - x^2 + 9x - 5`

`= 11x - 10`

`b)`

Cho `M(x) = 0`

Ta có: `2x^2 - 7x = 0`

`x(2x - 7) = 0`

`x = 0` hoặc `x = 7/2`

Vậy `M(x)` có hai nghiệm là `x = 0` và `x = 7/2`

Cho `N(x) = 0`

Ta có: `11x - 10 = 0`

`11x = 10`

`x = 10/11`

Vậy `N(x)` có nghiệm là `x = 10/11`

Bài 3:

`a) A(x) + B(x)`

`= (-x^3 + 7x^2 + 2x - 15) + (x^2 - 5x^3 - 4x + 7)`

`= -x^3 + 7x^2 + 2x - 15 + x^2 - 5x^3 - 4x + 7`

`= -6x^3 + 8x^2 - 2x - 8`

`b) A(x) + C(x)`

`= (-x^3 + 7x^2 + 2x - 15) + (3x^3 - 7x^2 - 4)`

`= -x^3 + 7x^2 + 2x - 15 + 3x^3 - 7x^2 - 4`

`= 2x^3 + 2x - 19`

`c) A(x) - B(x)`

`= (-x^3 + 7x^2 + 2x - 15) - (x^2 - 5x^3 - 4x + 7)`

`= -x^3 + 7x^2 + 2x - 15 - x^2 + 5x^3 + 4x - 7`

`= 4x^3 + 6x^2 + 6x - 22`

`d) B(x) - C(x)`

`= (x^2 - 5x^3 - 4x + 7) - (3x^3 - 7x^2 - 4)`

`= x^2 - 5x^3 - 4x + 7 - 3x^3 + 7x^2 + 4`

`= -8x^3 + 8x^2 - 4x + 11`

`e) B(x) - A(x) + C(x)`

`= (x^2 - 5x^3 - 4x + 7) - (-x^3 + 7x^2 + 2x - 15) + (3x^3 - 7x^2 - 4)`

`= x^2 - 5x^3 - 4x + 7 + x^3 - 7x^2 - 2x + 15 + 3x^3 - 7x^2 - 4`

`= -x^3 - 13x^2 - 6x + 18`

`f) C(x) - B(x) - A(x)`

`= (3x^3 - 7x^2 - 4) - (x^2 - 5x^3 - 4x + 7) - (-x^3 + 7x^2 + 2x - 15)`

`= 3x^3 - 7x^2 - 4 - x^2 + 5x^3 + 4x - 7 + x^3 - 7x^2 - 2x + 15`

`= 9x^3 - 15x^2 + 2x + 4`

Bài 4:

`a)`

Ta có: `f(x) = 3x^4 - 3x^2 + 12 - 3x^4 + x^3 - 2x + 3x - 15`

`= (3x^4 - 3x^4) + x^3 - 3x^2 + (-2x + 3x) + (12 - 15)`

`= x^3 - 3x^2 + x - 3`

Ta có: `g(x) = -x^3 - 5x^4 - 2x + 3x^2 + 2 + 5x^4 - 12x - 3 - x^2`

`= (-5x^4 + 5x^4) - x^3 + (3x^2 - x^2) + (-2x - 12x) + (2 - 3)`

`= -x^3 + 2x^2 - 14x - 1`

`b)`

Đa thức `f(x):`

Hệ số cao nhất: `1`

Hệ số tự do: `-3`

Đa thức `g(x):`

Hệ số cao nhất: `-1`

Hệ số tự do: `-1`

`c)`

`M(x) = f(x) + g(x)`

`= (x^3 - 3x^2 + x - 3) + (-x^3 + 2x^2 - 14x - 1)`

`= x^3 - 3x^2 + x - 3 - x^3 + 2x^2 - 14x - 1`

`= -x^2 - 13x - 4`

`N(x) = g(x) - f(x)`

`= (-x^3 + 2x^2 - 14x - 1) - (x^3 - 3x^2 + x - 3)`

`= -x^3 + 2x^2 - 14x - 1 - x^3 + 3x^2 - x + 3`

`= -2x^3 + 5x^2 - 15x + 2`

`d)`

`M(1) = -1^2 - 13 * 1 - 4 = -18`

`N(-1) = -2 * (-1)^3 + 5 * (-1)^2 - 15 * (-1) + 2 = 24`