a)
Vì $\widehat{DOE} = 90^\circ$ nên tam giác $ODE$ vuông cân tại $O$.
Do đó: $DE = \sqrt{OD^2 + OE^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $DE$. Trong tam giác cân $ODE$, $OH$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao.
Ta có: $DH = HE = \dfrac{DE}{2} = \dfrac{R\sqrt{2}}{2}$.
Tam giác $ODE$ vuông cân tại $O$ nên $OH = \dfrac{DE}{2} = \dfrac{R\sqrt{2}}{2}$.
Xét tam giác vuông $OHC$, ta có:
$OC^2 = OH^2 + HC^2 \Rightarrow HC^2 = OC^2 - OH^2$.
$OC = 3R$ (giả thiết).
$OH = \dfrac{R\sqrt{2}}{2}$.
Suy ra:
$HC^2 = (3R)^2 - \left(\dfrac{R\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 9R^2 - \dfrac{R^2}{2} = \dfrac{18R^2 - R^2}{2} = \dfrac{17R^2}{2}$.
$HC = \sqrt{\dfrac{17R^2}{2}} = \dfrac{R\sqrt{17}}{\sqrt{2}} = \dfrac{R\sqrt{34}}{2}$.
Vì $C$ nằm trên tia $DE$ nên:
$CD = HC - HD = \dfrac{R\sqrt{34}}{2} - \dfrac{R\sqrt{2}}{2} = \dfrac{R(\sqrt{34} - \sqrt{2})}{2}$.
$CE = HC + HE = \dfrac{R\sqrt{34}}{2} + \dfrac{R\sqrt{2}}{2} = \dfrac{R(\sqrt{34} + \sqrt{2})}{2}$.
Vậy: $CD = \dfrac{R(\sqrt{34} - \sqrt{2})}{2}$ và $CE = \dfrac{R(\sqrt{34} + \sqrt{2})}{2}$.

-------------------------------------------------------------
b)
Vì $C$ nằm ngoài đường tròn, ta có cát tuyến $CDE$ và $CAB$.
Theo tính chất phương tích của một điểm đối với đường tròn:
$CD \times CE = CA \times CB$ (điều phải chứng minh).