$a,$

Kí hiệu $(w)$ là đường tròn đi qua $B_1,C_1$ tiếp xúc với $(O)$ tại $X$

Do $WX$ là tiếp tuyến của $(w)$ nên $WX^2=WC_1.WB_1$

Do đó $\Delta WC_1A\backsim \Delta WAB_1 (c.g.c)$ kết hợp $B_1C_1//BC$ ta có biến đổi góc:

\[\widehat{WAC_1}=\widehat{WB_1A}=\widehat{ACB}\] 

Do đó $WA$ là tiếp tuyến của $(O)$

$b,$

Lấy $E$ nằm trên cung $BC$ chứa $A$ của $(O)$ sao cho $AE//BC$

Khi đó $D,G,E$ thẳng hàng (Dễ dàng chứng minh bằng định lý Thales)

Do đó ta sẽ chứng minh $X,D,E$ thẳng hàng.

Kẻ đường kính $AF$ của $(O),$ gọi $S$ là giao điểm của $BC,XF$

Khi đó ta thấy $\widehat{ADS}=\widehat{AXS}=90^o$ nên $A,D,X,S$ thuộc đường tròn đường kính $AS$

Lại có $WA=WX$ mà $WA=WD$ (Do $W$ nằm trên trung trực $AD$) nên $WA=WD$

Do đó $W$ là trung điểm của $AS$ (Do $\Delta ADS$ vuông tại $D$)

Vì vậy $W$ là tâm của $(ADX),$ do đó ta có biến đổi góc:

\[\widehat{AXD}=\widehat{ASD}=90^o - \widehat{SAD}=90^o - \widehat{SAB}-\widehat{BAD}=\widehat{A BC} - \widehat{ACB}\] 

Lại có:

\[\widehat{AXE}=\widehat{AFE}=90^o-\widehat{FAE}=90^o - \widehat{FAC}-\widehat{EAC}=90^o - \widehat{BAD}-\widehat{EBC}=\widehat{ABC}-\widehat{ACB}\] 

Do vậy $\widehat{AXD}=\widehat{AXE}$ nên $X,D,E$ thẳng hàng, kết thúc chứng minh.