Giả sử tồn tại `n ∈ N` sao cho:

`(n^2 + 3n + 5) vdots 121 (1)`

`=> (n^2 + 3n + 5) vdots 11`

`<=> 4(n^2 + 3n + 5) vdots 11`

`<=> 4n^2 + 12n + 20 vdots 11`

`<=> (2n + 3)^2 + 11 vdots 11`

Vì `11 vdots 11` nên:

`(2n + 3)^2 vdots 11`

Do `11` là số nguyên tố:

`=> (2n + 3) vdots 11`

`=> (2n + 3)^2 vdots 121 (2)`

Từ `(1)` suy ra:

`4(n^2 + 3n + 5) vdots 121`

`<=> (2n + 3)^2 + 11 vdots 121 (3)`

Từ `(2)(3)` suy ra:

`11 vdots 121` `(`vô lý`)`

Vậy `(n^2 + 3n + 5) vdots 121 ∀ n ∈ N`