a)

Ta có `BE` $\parallel$ `AC` nên `hat(BEA) = hat(EAC)` (hai góc so le trong)

Xét `triangle ABC` có `AD` lầ đường phân giác nên `hat(BAD) = hat(DAC)`

Suy ra: `hat(BEA) = hat(BAD) (= hat(EAC))`

Xét `triangle ABE` có `hat(BEA) = hat(BAD)` nên `triangle ABE` cân tại `B` (đpcm)

b)

Xét `triangle ABC` có `AD` là đường phân giác nên `(AB)/(AC) = (BD)/(DC)` (1)

Xét `triangle DEB` và `triangle DAC` có `hat(EDB) = hat(CDA)` (hai góc đối đỉnh) và `hat(DEB) = hat(DAC)` (cmt)

Suy ra `triangle DEB` $\sim$ `triangle DAC` (g-g)

Do đó: `(DE)/(DA) = (BD)/(DC)` (2)

Từ (1) và (2), suy ra `(AB)/(AC) = (DE)/(DA)` (đpcm)

c)

Ta có `BE` $\parallel$ `AC`, áp dụng hệ quả của định lí Thalès, ta có `(DA)/(DE) = (DC)/(DB)` (3)

Ta có `CF` $\parallel$ `AB`, áp dụng hệ quả của định lí Thalès, ta có `(DF)/(DA) = (DC)/(DB)` (4)

Từ (3) và (4), suy ra `(DA)/(DE) = (DF)/(DA)`

Vậy, `DA^2 = DE . DF` (đpcm)