Câu `1`

Gọi `x` là cạnh đáy, `h` là chiều cao của bể lăng trụ tứ giác đều `(x, h > 0)`

Thể tích bể: `V = x^2 * h = 16 <=> h = 16 / x^2`

Diện tích kính dùng làm bể không nắp gồm `1` mặt đáy và `4` mặt bên:

`S = x^2 + 4xh = x^2 + 4x * 16 / x^2 = x^2 + 64 / x`

`S = x^2 + 32 / x + 32 / x`

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho `3` số dương:

`S >= 3 * root{3}{x^2 * 32 / x * 32 / x} = 3 * root{3}{1024} = 12 * root{3}{2} (m^2)`

Số tiền tối thiểu:`T = 500000 * 12 * root{3}{2} = 6000000 * root{3}{2}` (đồng)

Câu `2`

Gọi `x` là cạnh của các tam giác vuông cân bị cắt bỏ ở `4` góc `(x > 0)`

Chiều rộng phần nhô ra gập lên làm chiều cao hình hộp: `h = x / sqrt{2}`

Đáy của hình hộp chữ nhật thu được là hình vuông có cạnh bằng: `6 - 2 * (x / sqrt{2}) = 6 - x * sqrt{2}`

Điều kiện cạnh đáy dương: `6 - x * sqrt{2} > 0 <=> x < 3 * sqrt{2}`

Thể tích khối hộp chữ nhật thu được:

`V = (6 - x * sqrt{2})^2 * (x / sqrt{2})`

`V = (1 / (2 * sqrt{2})) * (6 - x * sqrt{2}) * (6 - x * sqrt{2}) * (2 * x * sqrt{2})`

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho `3` số dương `(6 - x * sqrt{2}), (6 - x * sqrt{2})` và `(2 * x * sqrt{2}):`

`V <= (1 / (2 * sqrt{2})) * ( (6 - x * sqrt{2} + 6 - x * sqrt{2} + 2 * x * sqrt{2}) / 3 )^3`

`V <= (1 / (2 * sqrt{2})) * (12 / 3)^3 = (1 / (2 * sqrt{2})) * 64 = 16 * sqrt{2}`

Dấu `"="` xảy ra khi:

`6 - x * sqrt{2} = 2 * x * sqrt{2} <=> 3 * x * root{2} = 6 <=> x * sqrt{2} = 2 <=> x = sqrt{2} (TM)`

Thể tích lớn nhất là: `16 * sqrt{2}`