Event, chill 500, đúng đủ có hình, ko cct3

trước 11h30p

Cho tam giác $ABC$ nhọn, có độ dài ba cạnh đôi một khác nhau, nội tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $H$ là giao điểm của ba đường cao và $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Kí hiệu $A_1, B_1, C_1$ lần lượt là tiếp điểm của đường tròn $(I)$ với các cạnh $BC, CA, AB$. Gọi $K$ là điểm đồng quy của ba đường thẳng, trong đó mỗi đường thẳng nối một đỉnh của tam giác $ABC$ với giao điểm của hai tiếp tuyến tại hai đỉnh còn lại của đường tròn $(O)$.

Kẻ đường thẳng $d$ đi qua $K$ và vuông góc với đường thẳng nối $O$ và $H$. Giả sử đường thẳng $d$ cắt các đường thẳng chứa các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt tại $X, Y, Z$. Trên đường tròn $(O)$, lấy một điểm $P$ bất kì chuyển động (không trùng với các đỉnh). Kẻ $P_A, P_B, P_C$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $P$ lên các đường thẳng $BC, CA, AB$.

Xét một đường tròn $(\omega)$ đi qua trung điểm của các đoạn thẳng $HA, HB, HC$ và chân ba đường cao của tam giác $ABC$. Gọi $F$ là điểm tiếp xúc của đường tròn $(\omega)$ với đường tròn nội tiếp $(I)$. Cùng lúc đó, gọi $S$ là điểm đồng quy của ba đường tròn ngoại tiếp các tam giác $A_1YZ$, $B_1ZX$, và $C_1XY$.

CMR: giao điểm ba đường cao của tam giác được tạo bởi các đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp và giao điểm ba đường cao của ba tam giác $P P_B P_C$, $P P_C P_A$, $P P_A P_B$ sẽ luôn di chuyển trên một đường conic cố định khi $P$ thay đổi trên $(O)$, đồng thời đường conic cố định này bắt buộc phải đi qua ba điểm $F, S, K$ và luôn tiếp xúc với đường thẳng đi qua các giao điểm chung của đường tròn $(O)$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác