Ans:

$P_9$:

$a)$

(với $x \ge 3$)

$-$ Ta có:

  $T = \dfrac{x^2 + 6}{x} = \left(\dfrac{2x}{3} + \dfrac{6}{x}\right) + \dfrac{x}{3}$

$-$ Áp dụng Cauchy:

  $\dfrac{2x}{3} + \dfrac{6}{x} \ge 2\sqrt{\dfrac{2x}{3} \cdot \dfrac{6}{x}} = 4$

Vì $x \ge 3 \implies \dfrac{x}{3} \ge 1$

⇒ $T \ge 4 + 1 = 5$

$\min T = 5$ khi $x = 3$.

$b)$

$-$ Ta có:

  $M = \dfrac{x}{2x^3 + 1} = \dfrac{1}{2x^2 + \dfrac{1}{x}}$

Vì $x \ge 3 \implies 2x^2 + \dfrac{1}{x} \ge 2 \cdot 3^2 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{55}{3}$

⇒ $M \le \dfrac{3}{55}$

$\max M = \dfrac{3}{55}$ khi $x = 3$.

$P_{10}$:

$a)$

(với $x > y > 0$)

$-$ Ta có:

 $K = \dfrac{x^2 + y^2}{x - y}$

Biến đổi tử số theo $(x - y)$:

 $x^2 + y^2 = (x - y)^2 + 2xy$

$-$ Suy ra:

$K = \dfrac{(x - y)^2 + 2xy}{x - y} = (x - y) + \dfrac{2xy}{x - y}$

⇒ $Không$ $có$ $giá$ $trị$ $nhỏ$ $nhất$ $cố$ $định$

$b)$

$-$ Ta có:

  $A = (x - y) + \dfrac{y}{2} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{324}{(x - y)y^2}$

$-$ $Áp$ $dụng$ $Cauchy$:

  $A \ge 4 \sqrt[4]{(x - y) \cdot \dfrac{y}{2} \cdot \dfrac{y}{2} \cdot \dfrac{324}{(x - y)y^2}}$

⇒ $A \ge 4 \sqrt[4]{81} = 12$

$\min A = 12$ khi $x = 9, y = 6$

$\color{#0B6623}{꧁༺}$$\color{#0F7A2F}{𝔪}$$\color{#138F3C}{𝔲}$$\color{#17A34A}{𝔃}$$\color{#2EBF5E}{𝔃}$$\color{#4DD17A}{𝔞}$$\color{#6FE095}{𝖘}$$\color{#8BE8AA}{༻꧂}$