`#kanzakii`

7.

Ta có: `xy - y^2 = y(x - y)`

Áp dụng bdt Cô-si cho `2` số dương `y, x - y` ta có:

`y(x - y) <= x^2/4`

`=> 3/(xy - y^2) >= 12/(x^2)`

`=> A >= sqrt2 x^3 + 12/(x^2)`

`=> A >= (sqrt2 x^3)/2 + (sqrt2 x^3)/2 + 4/(x^2) + 4/(x^2) + 4/(x^2)`

Áp dụng bdt Cô-si cho `5` số dương `(sqrt2 x^3)/2 , (sqrt2 x^3)/2 , 4/(x^2) , 4/(x^2) , 4/(x^2)` ta có:

`A >= 5 * \root{5}{(sqrt2 x^3)/2 * (sqrt2 x^3)/2 * 4/(x^2) * 4/(x^2) * 4/(x^2)}`

`=> A >= 5 * root{5}{(2x^6)/4 * 64/x^6}`

`=> A >= 5 * root{5}{32}`

`=> A >= 10`

Vậy `A_(min) = 10`

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

`{(y = x - y),((sqrt2 x^3)/2 = 4/x^2):} => {(x = sqrt2),(y = sqrt2/2):}`

8.

`N = (xy)/(x^2 + y^2) = (x/y)/((x/y)^2 + 1)`

Đặt `t = x/y` `(t >= 2)`

`=> N = t/(t^2 + 1) = 1/(t + 1/t)`

Để `N` max thì `t + 1/t` min

Với `t >= 2` ta có `t + 1/t = t/4 + 1/t + (3t)/4`

Áp dụng bdt Cô-si cho `2` số dương `t/4, 1/t` ta có:

`t/4 + 1/t >= 2 * sqrt{t/4 * 1/t}`

`=> t/4 + 1/t >= 1`

Vì `t >= 2` ta có `(3t)/4 >= 3/2`

`=> t + 1/t >= 5/2`

`=> N = 1/(t + 1/t) <= 2/5`

Vậy `N_(max) = 2/5`

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

`t = x/y = 2 => x = 2y`