`P_5`

Do `x > y > 0` nên `x - y > 0` và `y + 1 > 0`

`O = (x - y) + (y + 1) + 432 / [ (x - y)^3 * (y + 1) ] - 1`

`O = (x - y)/3 + (x - y)/3 + (x - y)/3 + (y + 1) + 432 / [ (x - y)^3 * (y + 1) ] - 1`

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho `5` số thực dương ta có:

`O >= 5 * root{5}{(x - y)/3 * (x - y)/3 * (x - y)/3 * (y + 1) * 432 / [ (x - y)^3 * (y + 1) ]} - 1`

`O >= 5 * root{5}{432 / 27} - 1`

`O >= 5 * root{5}{16} - 1`

Dấu `"="` xảy ra khi và chỉ khi:

`(x - y)/3 = y + 1 = 432 / [ (x - y)^3 * (y + 1) ]`

Từ `(x - y)/3 = y + 1 => x - y = 3 * (y + 1)`

Thay vào đẳng thức còn lại ta có:

`y + 1 = 432 / [ 27 * (y + 1)^3 * (y + 1) ]`

`y + 1 = 16 / (y + 1)^4(y + 1)^5 = 16`

`y + 1 = root{5}{16}`

`y = root{5}{16} - 1`

Từ đó suy ra:

`x = 3 * (y + 1) + y = 4 * (y + 1) - 1 = 4 * root{5}{16} - 1`

Vì `root{5}{16} > 1` nên `y > 0` và `x > y > 0 (TM)`

Vậy GTNN của `O` là `5 * root{5}{16} - 1` khi `x = 4 * root{5}{16} - 1` và `y = root{5}{16} - 1`

`P_6`

Giả sử cả `4` số đã cho đều nhỏ hơn `4:`

`a^3 + 1/b + 1/c + 1/d < 4`

`b^3 + 1/c + 1/d + 1/a < 4`

`c^3 + 1/d + 1/a + 1/b < 4`

`d^3 + 1/a + 1/b + 1/c < 4`

Cộng vế theo vế `4` bất đẳng thức trên ta có:

`(a^3 + b^3 + c^3 + d^3) + 3*(1/a + 1/b + 1/c + 1/d) < 16 (**)`

Với mọi số thực dương `x,` xét hiệu:

`x^3 + 3/x - 4`

`= (x^4 - 4x + 3) / x`

`= (x^4 - x - 3x + 3) / x `

`= [x*(x^3 - 1) - 3*(x - 1)] / x `

`= [x*(x - 1)(x^2 + x + 1) - 3(x - 1)] / x `

`= [(x - 1)(x^3 + x^2 + x - 3)] / x `

`= [(x - 1)((x^3 - 1) + (x^2 - 1) + (x - 1))] / x `

`= [(x - 1)((x - 1)(x^2 + x + 1) + (x - 1)*(x + 1) + (x - 1))] / x `

`= [(x - 1)^2 * (x^2 + 2x + 3)] / x`

Vì `x > 0` nên `(x - 1)^2 >= 0` và `x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 + 2 > 0`

`=> [(x - 1)^2 * (x^2 + 2x + 3)] / x >= 0 => x^3 + 3/x >= 4`

Thay `x` lần lượt bằng `a, b, c, d` rồi cộng lại ta có:

`(a^3 + b^3 + c^3 + d^3) + 3*(1/a + 1/b + 1/c + 1/d) >= 16 (** **)`

Từ `(**)` và `(** **)` mâu thuẫn nhau nên giả sử ban đầu sai

Vậy có ít nhất một số không nhỏ hơn `4`