Đáp án`+`Giải thích các bước giải:

Gọi độ dài `BC = x (cm)  (x > 0 )`

Vì `(AB)/(AC) = 3/4`

Không mất tính tổng quát giả sử `AB = 3k (cm); AC = 4k (cm) (k > 0)`

`BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{(3k)^2 + (4k)^2} = 5k` (Py - ta - go)

`=> x = 5k => k = x/5`

Khi đó: `AB = (3x)/5 cm; AC = (4x)/5 cm`

Xét `\triangleABC` vuông tại `A` đường cao `AH` có:

`AB^2 = BH.BC` (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

`=> ((3x)/5)^2 = BH.  x`

`=> BH = (9x)/(25)`

Vì `M` là trung điểm của `BH` (gt)

`=> BM=  MH = (BH)/2 = (9x)/(50)`

Lại có: `AB.AC = AH.BC`

`=> (3x)/5 . (4x)/5= AH.x`

`=> AH = (12x)/(25)`

Áp dụng định lí Py-ta-go vào `\triangleAMH` vuông tại `H` ta được:

`AM^2=  AH^2 + MH^2`

`=> AM^2 = ((12x)/(25))^2 + ((9x)/(50))^2`

`=> (10,25)^2=  (144x^2)/(625) + (81x^2)/(2500)`

`=> (1681)/(16) = (657x^2)/(2500)`

`=> x ~~ 20 (cm)` (do `x > 0`)

Vậy `BC ~~ 20cm`

`***`sharksosad