Đáp án `+` Giải thích các bước giải:

 `S=n^3 (n+2)^2+ (n+1)(n^3-5n+1)-2n-1`

`S=n^3 (n^2+ 4n+4)+(n^4+ n^3-5n^2- 4n+1)-2n-1`

`S=(n^5+4n^4+ 4n^3)+(n^4+ n^3-5n^2- 4n+1)-2n-1`

`S=n^5+4n^4+ 4n^3+n^4+ n^3-5n^2- 4n+1-2n-1`

`S=n^5+ (4n^4+ n^4)+(4n^3+ n^3)-5n^2 -(2n+4n)+(1-1)`

`S=n^5+5 n^4+5n^3- 5n^2- 6n`

`S=n(n^4+ 5n^3+ 5n^2- 5n-6)`

`S=n[(n^4- n^3)+(6n^3- 6n^2)+(11n^2- 11n)+(6n-6)]`

`S=n[n^3 (n-1)+6n^n (n-1)+11n(n-1)+6(n-1)]`

`S=n(n-1)(n^3+ 6n^2+ 11n+6)`

`S=n(n-1)[(n^3+ n^2)+(5n^2+ 5n)+(6n+6)]`

`S=n(n-1)[n^2 (n+1)+5n(n+1)+6(n+1)]`

`S=n(n-1)(n+1)(n^2+ 5n+6)`

`S=n(n-1)(n+1)[(n^2+3n)+(3n+6)]`

`S=n(n-1)(n+1)[n(n+3)+2(n+3)]`

`S=n(n-1)(n+1)(n+2)(n+3)`

`S=(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)`

Vì `n-1,n,n+1,n+2,n+3` là `5` số nguyên liên tiếp nên tích của `n-1,n,n+1,n+2,n+3` `vdots 120`

`=> (n-1)n(n+1)(n+2)(n+3) vdots 120`

Hay `S vdots 120` `(đpcm)`