$d\Bigg)x^2 + 2y^2 = 2xy + 2x + 5y$$\\$ $\Leftrightarrow x^2 - 2x(y + 1) + 2y^2 - 5y = 0$$\\$ $\Leftrightarrow x^2 - 2x(y + 1) + (y + 1)^2 + y^2 - 7y - 1 = 0$$\\$ $\Leftrightarrow (x - y - 1)^2 + y^2 - 7y - 1 = 0$$\\$ $\Leftrightarrow 4(x - y - 1)^2 + 4y^2 - 28y - 4 = 0$$\\$ $\Leftrightarrow 4(x - y - 1)^2 + (2y - 7)^2 = 53$$\\$ Vì $x, y$ là các số nguyên nên $4(x - y - 1)^2$ và $(2y - 7)^2$ là các số chính phương.$\\$ Do $4(x - y - 1)^2$ là số chính phương chẵn và $(2y - 7)^2$ là số chính phương lẻ, ta có: $53 = 4 + 49$.$\\$ Ta có hệ phương trình:$\\$ $\begin{cases} 4(x - y - 1)^2 = 4 \\ (2y - 7)^2 = 49 \end{cases}$$\\$ $\Leftrightarrow \begin{cases} (x - y - 1)^2 = 1 \\ (2y - 7)^2 = 49 \end{cases}$$\\$ Từ $(2y - 7)^2 = 49$, ta xét hai trường hợp: Trường hợp $1:$ $2y - 7 = 7$$\\$ $\Leftrightarrow 2y = 14$$\\$ $\Leftrightarrow y = 7$$\\$ Thay $y = 7$ vào phương trình còn lại:$\\$ $(x - 7 - 1)^2 = 1$$\\$ $\Leftrightarrow (x - 8)^2 = 1$$\\$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x - 8 = 1 \\ & x - 8 = -1 \end{aligned} \right.$$\\$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = 9 \\ & x = 7 \end{aligned} \right.$$\\$ Trường hợp 2: $2y - 7 = -7$$\\$ $\Leftrightarrow 2y = 0$$\\$ $\Leftrightarrow y = 0$$\\$ Thay $y = 0$ vào phương trình còn lại:$\\$ $(x - 0 - 1)^2 = 1$$\\$ $\Leftrightarrow (x - 1)^2 = 1$$\\$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x - 1 = 1 \\ & x - 1 = -1 \end{aligned} \right.$$\\$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = 2 \\ & x = 0 \end{aligned} \right.$$\\$ Vậy các cặp nghiệm nguyên $(x, y)$ của phương trình là $(9, 7); (7, 7); (2, 0); (0, 0)$.