Ta có:

`1/( \sqrt{a} + \sqrt{a + 1} ) = ( \sqrt{a + 1} - \sqrt{a} )/( a + 1 - a ) = \sqrt{a + 1} - \sqrt{a}`

Áp dụng vào `E` ta được:

`E = 1/(\sqrt{1}+\sqrt{2})+1/(\sqrt{2}+\sqrt{3})+...+1/(\sqrt{2014}+\sqrt{2015})`

`E = \sqrt{2} - \sqrt{1} + \sqrt{3} - \sqrt{2} + ... + \sqrt{2015} - \sqrt{2014}`

`E = \sqrt{2015} - \sqrt{1}`

`E = \sqrt{2015} - 1`

_________________________

Ta có:

`1/(a\sqrt{a+1}+(a+1)\sqrt{a})`

`= 1/(\sqrt{a(a+1)}( \sqrt{a+1}+\sqrt{a}))`

`= ( \sqrt{a+1} - \sqrt{a} )/( \sqrt{a(a+1)} . ( a + 1 - a ))`

`= ( \sqrt{a + 1} - \sqrt{a} )/( \sqrt{a} . \sqrt{a + 1} )`

`= 1/( \sqrt{a} ) - 1/( \sqrt{a + 1} )` 

Áp dụng vào `A` ta được:

`A = 1/( 1\sqrt{2}+2\sqrt{1}) + 1/(2\sqrt{3}+3\sqrt{2}) + ... + 1/(2014\sqrt{2015}+2015\sqrt{2014})`

`A = 1 - 1/(\sqrt{2}) + 1/(\sqrt{2}) - 1/(\sqrt{3}) + ... + 1/(\sqrt{2014}) - 1/(\sqrt{2015})`

`A = 1 - 1/(\sqrt{2015})`

`A = 1 - (\sqrt{2015})/2015`

`A = ( 2015 - \sqrt{2015})/2015`