Gọi `I` là trung điểm `AB`

`a)` Ta có: $\triangle$`ABD` vuông tại `D` (`AD` là đường cao)

nên $\triangle$`ABD` nội tiếp đường tròn đường kính `AB` `(1)`

Ta có: $\triangle$`ABE` vuông tại `E` (`BE` là đường cao)

nên $\triangle$`ABE` nội tiếp đường tròn đường kính `AB` `(2)`

`(1)(2)` suy ra: `A, B, D, E` cùng thuộc đường tròn đường kính `AB`

Suy ra: tứ giác `ABDE` nội tiếp đường tròn đường kính `AB`, tâm `I`

`b)` Có: tứ giác `ABDE` nội tiếp đường tròn đường kính `AB`

nên `hat{ADE} = hat{ABE}` (góc nội tiếp cùng chắn $\mathop{AE}\limits^{\displaystyle\frown}$) `(3)`

Ta có: $\triangle$`BDH` vuông tại `D` (`AD` là đường cao)

nên $\triangle$`BDH` nội tiếp đường tròn đường kính `BH` `(a)`

Ta có: $\triangle$`BFH` vuông tại `E` (`CF` là đường cao)

nên $\triangle$`BFH` nội tiếp đường tròn đường kính `BH` `(b)`

`(a)(b)` suy ra: `B, D, H, F` cùng thuộc đường tròn đường kính `BH`

Suy ra: tứ giác `BDHF` nội tiếp đường tròn đường kính `BH`

Suy ra: `hat{FDH} = hat{FBH}` hay `hat{FDA} = hat{ABE}` (góc nội tiếp cùng chắn $\mathop{FH}\limits^{\displaystyle\frown}$) `(4)`

`(3)(4)` suy ra: `hat{ADE} = hat{FDA}`

Suy ra: `hat{FDE} = 2 hat{ADE}` (*)

Có: tứ giác `ABDE` nội tiếp đường tròn đường kính `AB`

mà $\begin{cases} \text{$\widehat{AIE}$ là góc ở tâm chắn $\mathop{AE}\limits^{\displaystyle\frown}$}\\\text{$\widehat{ADE}$ là góc nội tiếp chắn $\mathop{AE}\limits^{\displaystyle\frown}$} \end{cases}$

nên `hat{AIE} = 2 hat{ADE}` (**)

(*)(**) suy ra: `hat{AIE} = hat{FDE}` (đpcm)