a)

Ta có `HP = NP - NH = 8 - 2 = 6 (cm)`

Xét `triangle MHN` vuông tại `H` và `triangle PHM` vuông tại `H` có `hat(MNH) = hat(HMP)` (hai góc cùng phụ với `hat(NMH)`)

Suy ra `triangle MHN` $\sim$ `triangle PHM` (g-g)

Do đó: `(MH)/(HP) = (NH)/(MH)`, suy ra `MH^2 = HP . NH = 6 . 2 = 12`

Suy ra `MH = sqrt(12) (cm)`

Xét `triangle MHN` vuông tại `H` có `tan hat(MNH) = (MH)/(HN) = (sqrt(12))/2 = sqrt(3)`

Suy ra `hat(MNH) = 60^o`

Đồng thời, `sin hat(MNH) = (MH)/(MN)`

Suy ra: `MN = MH : sin hat(MNH) = sqrt(12) : sin 60^o = 4 (cm)`

Áp dụng định lí Pythagore vào `triangle MNP` vuông tại `N` có `NP^2 = MN^2 + MP^2`

Suy ra `MP^2 = NP^2 - MN^2 = 8^2 - 4^2 = 48`

Do đó `MP = sqrt(48) = 4sqrt(3) (cm)`

Vậy, `MN = 4cm, MH = sqrt(12) cm, NP = 4sqrt(3)cm`

b)

Gọi `I` là trung điểm `MN`

Xét `triangle MHN` vuông tại `H` có `HI` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên `HI = (MN)/2 = MI = NI`

Xét `triangle MQN` vuông tại `Q` có `QI` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên `QI = (MN)/2 = MI = NI`

Do đó: `MI = NI = HI = QI`, suy ra `I` cách đều bốn điểm `M,N,H,Q`

Suy ra: `M,N,H,Q` cùng thuộc đường tròn `(I; (MN)/2)`

Xét đường tròn `(I; (MN)/2)` có `hat(NMH) = hat(NQH)` (hai góc nội tiếp cùng chắn cung `NH`)

Đồng thời, ta có `hat(NMH) = hat(NPM)` (hai góc cùng phụ với `hat(MNP)`

Suy ra `hat(NQH) = hat(NPM)`

Xét `triangle NQH` và `triangle NPK` có `hat(KNP)` là góc chung với `hat(NQH) = hat(NPK)` (cmt)

Suy ra `triangle NQH` $\sim$ `triangle NPK` (g-g)

Do đó `(NQ)/(NH) = (NP)/(NK)`

Vậy, `NQ.NK = NH . NP` (đpcm)