$$(x - 2)(x + 2) + 4(x - 2)\sqrt{\frac{x + 2}{x - 2}} = -3$$

$$\frac{x + 2}{x - 2} \ge 0 \quad \text{và} \quad x - 2 \neq 0$$

• Trường hợp 1: $\begin{cases} x + 2 \ge 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases} \iff x > 2$

• Trường hợp 2: $\begin{cases} x + 2 \le 0 \\ x - 2 < 0 \end{cases} \iff x \le -2$

$\Rightarrow$ ĐKXĐ: $x > 2$ hoặc $x \le -2$.

Đặt $t = (x - 2)\sqrt{\frac{x + 2}{x - 2}}$.

Tính $t^2$:

$$t^2 = \left[(x - 2)\sqrt{\frac{x + 2}{x - 2}}\right]^2 = (x - 2)^2 \cdot \frac{x + 2}{x - 2} = (x - 2)(x + 2)$$

Phương trình ban đầu trở thành:

$$t^2 + 4t = -3$$$$\iff t^2 + 4t + 3 = 0$$$$\iff (t + 1)(t + 3) = 0$$$$\iff \left[\begin{array}{l} t = -1 \\ t = -3 \end{array}\right.$$

Trường hợp 1: Với $t = -1$

$$(x - 2)\sqrt{\frac{x + 2}{x - 2}} = -1$$

Vì $t = -1 < 0$ nên buộc $x - 2 < 0 \implies x < 2$. Kết hợp điều kiện xác định, ta lấy $x \le -2$.

Do $x - 2 < 0$, ta đưa $(x - 2)$ vào trong căn:

$$- \sqrt{(x - 2)^2 \cdot \frac{x + 2}{x - 2}} = -1$$$$\iff - \sqrt{(x - 2)(x + 2)} = -1$$$$\iff \sqrt{x^2 - 4} = 1$$$$\iff x^2 - 4 = 1$$$$\iff x^2 = 5$$$$\iff \left[\begin{array}{l} x = \sqrt{5} \quad (\text{Loại vì } x \le -2) \\ x = -\sqrt{5} \quad (\text{TMĐKXĐ}) \end{array}\right.$$

Trường hợp 2: Với $t = -3$

$$(x - 2)\sqrt{\frac{x + 2}{x - 2}} = -3$$

Tương tự, vì $t = -3 < 0 \implies x \le -2$:

$$- \sqrt{(x - 2)(x + 2)} = -3$$$$\iff \sqrt{x^2 - 4} = 3$$$$\iff x^2 - 4 = 9$$$$\iff x^2 = 13$$$$\iff \left[\begin{array}{l} x = \sqrt{13} \quad (\text{Loại vì } x \le -2) \\ x = -\sqrt{13} \quad (\text{TMĐKXĐ}) \end{array}\right.$$
Vậy nghiệm của phương trình là $S = $S = \{-\sqrt{5}; -\sqrt{13}\}$