Đáp án + Giải thích các bước giải:

a)

Xét tứ giác $ADME$ có:

$\widehat{DAE} = 90^\circ$ (do $\Delta ABC$ vuông tại $A$)

$\widehat{ADM} = 90^\circ$ (do $MD \perp AB$)

$\widehat{AEM} = 90^\circ$ (do $ME \perp AC$)

$\Rightarrow ADME$ là hình chữ nhật.

b)

Ta có $M$ là trung điểm $BC$, $MD \perp AB$ và $AC \perp AB \Rightarrow MD \parallel AC$.

$\Rightarrow D$ là trung điểm $AB$.

Tứ giác $AMBI$ có hai đường chéo $AB$ và $MI$ cắt nhau tại trung điểm $D$ của mỗi đường.

$\Rightarrow AMBI$ là hình bình hành.

Lại có $MI \perp AB$ tại $D$ (do $MD \perp AB$).

$\Rightarrow AMBI$ là hình thoi.

c)

Hình thoi $AMBI$ là hình vuông $\Leftrightarrow \widehat{AMB} = 90^\circ \Leftrightarrow AM \perp BC$.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, có đường trung tuyến $AM$ đồng thời là đường cao.

$\Rightarrow \Delta ABC$ cân tại $A$.

Vậy điều kiện là $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$.

d)

Xét tứ giác $APHQ$ có $\widehat{PAQ} = \widehat{APH} = \widehat{AQH} = 90^\circ \Rightarrow APHQ$ là hình chữ nhật.

$\Rightarrow \widehat{AQP} = \widehat{AHP}$ (tính chất hình chữ nhật).

Ta có $\widehat{AHP} = \widehat{ABC}$ (cùng phụ $\widehat{BAH}$)

$\Rightarrow \widehat{AQP} = \widehat{ABC}$.

$\Delta ABC$ vuông tại $A$, trung tuyến $AM \Rightarrow AM = \dfrac{1}{2}BC = MC \Rightarrow \Delta AMC$ cân tại $M$.

$\Rightarrow \widehat{MAC} = \widehat{ACB}$.

Gọi $K$ là giao điểm của $AM$ và $PQ$. Xét $\Delta AKQ$ có:

$\widehat{KAQ} + \widehat{KQA} = \widehat{MAC} + \widehat{AQP} = \widehat{ACB} + \widehat{ABC} = 90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{AKQ} = 90^\circ \Rightarrow PQ \perp AM$ (đpcm).

$$\boxed{\text{@bythongtran09}}$$