Đáp án + Giải thích các bước giải:

a)

Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $BC$, cắt $CF$ và $BE$ lần lượt tại $M$ và $N$.

Do $AM \parallel CD$, theo hệ quả định lí Thales:

$\dfrac{AF}{FB} = \dfrac{AM}{BC}$ và $\dfrac{OA}{OD} = \dfrac{AM}{CD}$

Do $AN \parallel BD$, theo hệ quả định lí Thales:

$\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{AN}{BC}$ và $\dfrac{OA}{OD} = \dfrac{AN}{BD}$

Do $BD = CD$ ($AD$ là trung tuyến) $\Rightarrow AM = AN$.

$\Rightarrow \dfrac{AF}{FB} = \dfrac{AE}{EC} \left(= \dfrac{AM}{BC}\right)$

$\Rightarrow EF \parallel BC$ (định lí Thales đảo).

b)

Do $CF$ là đường phân giác của $\widehat{C}$:

$\dfrac{AF}{FB} = \dfrac{AC}{BC}$

Kết hợp với kết quả câu a:

$\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{AC}{BC} \Rightarrow \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{EC}{BC}$ (1)

Xét $\Delta ABE$ vuông tại $E$ ($\cos A$) và $\Delta CBE$ vuông tại $E$ ($\cos C$):

$\dfrac{AE}{AB} = \cos A$ và $\dfrac{EC}{BC} = \cos C$

$\Rightarrow AE = AB \cdot \cos A$ và $\dfrac{EC}{BC} = \cos C$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \dfrac{AB \cdot \cos A}{AC} = \cos C \Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{\cos C}{\cos A}$ (3)

Kẻ đường cao $AH$ của $\Delta ABC$:

$\sin B = \dfrac{AH}{AB}$ và $\sin C = \dfrac{AH}{AC} \Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{\sin C}{\sin B}$ (4)

Từ (3) và (4):

$\dfrac{\sin C}{\sin B} = \dfrac{\cos C}{\cos A} \Rightarrow \dfrac{\sin B}{\cos A} = \dfrac{\sin C}{\cos C} = \tan C$ (đpcm).

$$\boxed{\text{@bythongtran09}}$$