Đáp án + Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$:

$\cos \widehat{ABC} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{6}{10} = 0,6$

$\Rightarrow \widehat{ABC} \approx 53^\circ$

$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8 \text{ (cm)}$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$:

$AH \cdot BC = AB \cdot AC$

$\Rightarrow AH = \dfrac{6 \cdot 8}{10} = 4,8 \text{ (cm)}$

b)

Xét $\Delta AHC$ vuông tại $H$, trung tuyến $HD$:

$HD = AD = \dfrac{AC}{2}$

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A$, đường cao $AE$:

$AD^2 = DE \cdot DB$

$\Rightarrow HD^2 = DE \cdot DB$ (do $HD = AD$)

Trong $\Delta ABD$ vuông tại $A$:

$\sin \widehat{ABD} = \dfrac{AD}{BD}$

$\Rightarrow \sin^2 \widehat{ABD} = \dfrac{AD^2}{BD^2}$

Thay $AD^2 = DE \cdot BD$ vào biểu thức:

$\sin^2 \widehat{ABD} = \dfrac{DE \cdot BD}{BD^2} = \dfrac{DE}{BD}$

$\Rightarrow DE = BD \cdot \sin^2 \widehat{ABD}$

c)

Gọi $F$ là giao điểm của $DK$ và $AB$.

Xét $\Delta FBC$ có $CA \perp FB$ và $FD \perp BC$.

$CA$ cắt $FD$ tại $D$.

$\Rightarrow D$ là trực tâm của $\Delta FBC$.

$\Rightarrow BD \perp FC$.

Lại có $AE \perp BD$ (giả thiết).

$\Rightarrow AK \parallel FC$.

Xét $\Delta DFC$ có $AK \parallel FC$:

$\dfrac{DK}{DF} = \dfrac{DA}{DC} = 1$ (do $D$ là trung điểm $AC$)

$\Rightarrow DK = DF$.

Tứ giác $AFCK$ có hai đường chéo $AC$ và $FK$ cắt nhau tại trung điểm $D$ của mỗi đường.

$\Rightarrow AFCK$ là hình bình hành.

$\Rightarrow KC \parallel AF$ (hay $KC \parallel AB$).

Mà $AB \perp AC$ (do $\Delta ABC$ vuông tại $A$).

$\Rightarrow KC \perp AC$

$\Rightarrow \widehat{KCD} = 90^\circ$.

Ta có $DK \perp BC$ và $AH \perp BC \Rightarrow DK \parallel AH$.

Trong $\Delta AHC$, $D$ là trung điểm $AC$ và $DK \parallel AH$.

$\Rightarrow DK$ là đường trung trực của đoạn thẳng $HC$.

$\Rightarrow KH = KC$.

Xét $\Delta KHD$ và $\Delta KCD$ có:

$DH = DC$ (vì $HD = \dfrac{AC}{2}$)

$KH = KC$ (chứng minh trên)

$KD$ là cạnh chung

$\Rightarrow \Delta KHD = \Delta KCD \text{ (c.c.c)}$

$\Rightarrow \widehat{KHD} = \widehat{KCD} = 90^\circ$.

$\Rightarrow HD \perp HK$.

$$\boxed{\text{@bythongtran09}}$$