`Do  p ; q` là số nguyên tố `=> p ; q >= 2`

`=> ( p + q )^p > 0 => q > p => q` lẻ

Nếu cả `2` số `p ; q` đều không chia hết cho `3` thì xảy ra `1` trong `2`TH sau:

`+`TH`1: p ; q` cùng dư khi chia cho `3 => q - p  \vdots  3`

`mà  p + q` không chia hết cho `3 =>` vô lý

`+`TH`2: p ; q` khác dư khi chia cho `3 => p + q  \vdots  3`

`mà  q - p` không chia hết cho `3 =>` vô lý

`=>` trong `2` số có `1` số chia hết cho `3`

`+`TH`1: q = 3   do  q > p => p = 2` thử lại KTM

`+`TH`2: p = 3` khi đó: `( q + 3 )^3 = ( q - 3 )^( 2q - 1 )`

Xét `q = 5` thoả mãn

Xét `q > 5` xảy ra `1` trong `4`TH sau:

`+` TH`1: q` chia `5` dư `1 => ( q + 3 )^3` chia `5` dư `-1`

`=> q - 3` chia `5` dư `-1  ( do  2q - 1` lẻ ) vô lý do `q` chia `5` dư `1`

`+` TH`2: q` chia `5` dư `2 => ( q + 3 )^3` chia `5` dư `0`

`=> q - 3` chia `5` dư `0` vô lý

`+` TH`3: q` chia `5` dư `3 => ( q - 3 )^( 2q - 1 )` chia `5` dư `0`

`=> q + 3` chia `5` dư `0` vô lý

`+` TH`4: q` chia `5` dư `4 => ( q - 3 )^( 2q - 1)` chia `5` dư `1`

`=> q + 3` chia `5` dư `1` vô lý `do  q` chia `5` dư `4`

`Vậy   ( p ; q ) = ( 3 ; 5 )`