Đặt `P = abc(a+b+c+abc)`

Xét `a+b+c+abc`

`= (a+b+c)+(a+b+c)(ab+bc+ca)-[(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc]`

`= (a+b+c)(ab+bc+ca+1)-[(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc]`

`= (a+b+c)(ab+bc+ca+1)-(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc)`

`= (a+b+c)(ab+bc+ca+1)-(a+b)(b+c)(c+a)`

`=>P = abc(a+b+c+abc)`

`= abc(a+b+c)(ab+bc+ca+1)-abc(a+b)(b+c)(c+a)` 

Vì `ab+bc+ca+1vdots8`, ta chỉ cần chứng minh

`Q=abc(a+b)(b+c)(c+a)vdots8`

Ta có `ab+bc+ca+1vdots8 => ab+bc+ca` lẻ

`=>` Trong ba số `a, b, c` chỉ có thể có `0` hoặc `1` số chẵn

`@\ "TH 1: "` `3` số đều lẻ

 `=> (a+b), (b+c), (c+a)` đều chẵn

 `=> (a+b)(b+c)(c+a)vdots8 => Qvdots8`

`@\ "TH 2: "` `1` số chẵn, `2` số lẻ (KMTTQ giả sử `a` chẵn, `b, c` lẻ)

 `=> {(avdots2),(b = 2m+1), (c = 2n+1):}` (với `m, n in ZZ`)

 `=> ab+bc+ca+1 = a(b+c)+4mn+2(m+n+1)vdots8`

 Vì `a` chẵn `=> a(b+c)vdots4 => 2(m+n+1)vdots4 => b+c vdots4`

 Mà `{(avdots2),(b+cvdots4):} => a(b+c)vdots8 => Qvdots8`

(ĐPCM)