`ast` Bài toán chỉ phù hợp khi `x in ZZ,` nếu `x in RR` thì xem thêm ở cuối

___________________

Ta có:

`a=x^2+4x-5=(x-1)(x+5)`

`b=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)`

`c=1-x^2=-(x-1)(x+1)`

`"PT"<=> 3^a-1=3^c-3^b`

`<=> 3^a-1=3^b(3^(c-b)-1)`        `(1)`

`@`  Xét `x=1`

`=> a=b=c=0`

Thay vào PT đã cho ta được

`3^0+3^0=3^0+1<=> 2=2` (luôn đúng)

`=> x=1` là một nghiệm của phương trình

`@` Xét `x>1`, ta có:

`{(a = (x-1)(x+5) > 0=>3^a-1 = "VT"(1) > 0), (c-b = -(x-1)(2x-1) < 0=>3^b(3^(c-b)-1) = "VP"(1) < 0):}`

`=>` Mâu thuẫn với `(1)`

`=>` Phương trình không có nghiệm `x>1`

`@` Xét `x<-3`

`"PT"<=>3^b-1=3^a(3^(c-a)-1)`        `(2)`

Vì `x<-3`, ta có:
`{(b = (x-1)(x-2) > 0=>3^b-1 ="VT"(2)> 0), (c-a = -2(x-1)(x+3) < 0=>3^a(3^(c-a)-1)="VP"(2) < 0):}`

`=>` Mâu thuẫn với `(2)`

`=>` Phương trình không có nghiệm `x<-3`

`@` Xét `x in [-3, 1]=>x in {-3; -2; -1; 0}`

`x=0=>a=-5;b=2;c=1=>3^(-5)+3^2 != 3^1+1` (loại)

`x=-1=>a=-8;b=6;c=0=>3^(-8)+3^6 != 3^0+1` (loại)

`x=-2=>a=-9;b=12;c=-3=>3^(-9)+3^12 != 3^(-3)+1` (loại)

`x=-3=>a=-8;b=20;c=-8=>3^(-8)+3^20 != 3^(-8)+1` (loại)

Vậy `x=1` TMĐB

___________________

`ast` Nếu `x in RR`

Xét hàm:

`f(x)=3^a+3^b-3^c-1=3^((x-1)(x+5))+3^((x-1)(x-2))-3^(-(x-1)(x+1))-1`

TXĐ: `D=RR`

`=>f(x)` liên tục trên `(0,1/2)`

Ta có:

`f(0)=1216/243`

`f(1/2)=3^(-11/4)-1<9`

`=>f(0)f(1/2)<0=>f(x)` có nghiệm trên `(0,1/2)` (ĐL Bolzano-Cauchy)

Dùng PP Newton-Raphson tính xấp xỉ ra `x~~0,3`

Lại có:

`f^'(x) = (2x+4)3^((x-1)(x+5))ln3+(2x - 3)3^((x-1)(x-2))ln3+2x*3^(-(x-1)(x+1))ln3`

`f^'(x)=0<=>x~~0,634`

`=>` Theo ĐL Rolle, `f(x)` có tối đa `2` nghiệm trên `[-3,1]` (đã tìm ra là `x=1` và `x~~0,3`)

Vậy PT đã cho có `2` nghiệm `x=1, x~~0,3`