Đáp án+Giải thích các bước giải:

 a) Vì Δ ABC cân tại A

      ⇒ AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác ∠BAC

      ⇒ ∠BAD = ∠ CAD

      Xét Δ ABD và Δ ACD

      Có AB = AC ( Vì Δ ABC cân tại A )

      ∠BAD = ∠ CAD

         AD chung

      Do đó Δ ABD = Δ ACD ( c-g-c )

      ⇒ ∠ABD = ∠ ACD = $90^{o}$ 

          BD = CD

      Mà BM = CN

      ⇒ Δ DBM = Δ DCN ( c-g-c ) (đpcm)  

 b) Vì Δ DBM = Δ DCN

     Nên ∠BDM = ∠CDN

        ⇒ ∠MDN = ∠MDC + ∠CDN

                        = ∠MDC + ∠BDM

                        = ∠BDC

     Ta có ∠BAC + ∠ABD + ∠ACD + ∠BDC = $360^{o}$ 

              ∠BAC + $90^{o}$ + $90^{o}$ + ∠BDC = $360^{o}$ 

              ∠BAC + $180^{o}$ + ∠BDC = $360^{o}$ 

              ∠BAC + ∠BDC = $180^{o}$ 

          ⇒ ∠BAC + ∠MDN = $180^{o}$ 

      Hay ∠MDN + ∠MAN = $180^{o}$ (đpcm)

 c) Gọi I là giao điểm của MN và BC

     Kẻ ME // AC

     ⇒ ∠MEB = ∠ACB ( đv )

     Mà ∠ACB = ∠ABC ( Vì Δ ABC cân tại A )

     ⇒ ∠MEB = ∠ABC

     ⇒ Δ MEB cân tại M

     ⇒ ME = MB

     Mà MB = CN

     ⇒ ME = CN

     Xét Δ EMI và Δ CNI

     Có ∠EMI = ∠CNI ( SLT )

              ME = CN 

           ∠MEI = ∠NCI ( SLT)

     Do đó Δ EMI = Δ CNI

     ⇒ MI = NI

     ⇒ I là trung điểm của MN 

     ⇒ BC đi qua trung điểm của MN (đpcm)