* Gọi $a$ là số nguyên dương bất kì ($a \in \mathbb{N}^*$)

* TH1: Nếu $a$ chẵn $\to a = 2n$ ($n \in \mathbb{N}^*$)

$a^3 = (2n)^3 = 8n^3$

$a^3 = n^2 \cdot 8n$

$a^3 = n^2 \cdot \left[(2n + 1)^2 - (2n - 1)^2\right]$

$a^3 = n^2(2n + 1)^2 - n^2(2n - 1)^2$

$a^3 = \left[n(2n + 1)\right]^2 - \left[n(2n - 1)\right]^2$

$a^3 = (2n^2 + n)^2 - (2n^2 - n)^2$

* Vì $n \in \mathbb{N}^*$ $\to$ $(2n^2 + n)$ và $(2n^2 - n)$ là các số nguyên dương

$\to$ đpcm

* TH2: Nếu $a$ lẻ $\rightarrow a = 2n + 1$ ($n \in \mathbb{N}$)

$a^3 = (2n + 1)^3$

$a^3 = (2n + 1) \cdot (2n + 1)^2$

$a^3 = (2n + 1) \cdot (4n^2 + 4n + 1)$

$a^3 = \left[\frac{(2n + 1) + (2n + 1)^2}{2}\right]^2 - \left[\frac{-(2n + 1) + (2n + 1)^2}{2}\right]^2$

$a^3 = \left[\frac{(2n + 1) + (4n^2 + 4n + 1)}{2}\right]^2 - \left[\frac{-(2n + 1) + (4n^2 + 4n + 1)}{2}\right]^2$

$a^3 = \left[\frac{4n^2 + 6n + 2}{2}\right]^2 - \left[\frac{4n^2 + 2n}{2}\right]^2$

$a^3 = (2n^2 + 3n + 1)^2 - (2n^2 + n)^2$

* Vì $n \in \mathbb{N}$ $\to$ $(2n^2 + 3n + 1)$ và $(2n^2 + n)$ là các số nguyên dương

$\to$ đpcm

◌ $\color{#8B0000}{A}\color{#9F1200}{x}\color{#B32400}{e}\color{#C73600}{l}\color{#DB4800}{P}\color{#EF5A00}{h}\color{#FF6C00}{o}\color{#FF8500}{e}\color{#FF9E00}{n}\color{#FFB700}{i}\color{#FFD700}{x}$ ◌