$a)$

* Xét $\triangle ABD$ vuông tại $D$ (do $BD \perp AC$) và $\triangle ACE$ vuông tại $E$ (do $CE \perp AB$) có:

$+)$ $AB = AC$ (do $\triangle ABC$ cân tại $A$)

$+)$ $\widehat{BAC}$ chung

$\to \triangle ABD = \triangle ACE$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\to AE = AD$ (đpcm)

$b)$ 

* Xét $\triangle AEH$ vuông tại $E$ và $\triangle ADH$ vuông tại $D$ có:

$+)$ $AE = AD \quad (cmt)$

$+)$ $AH$ chung

$\to \triangle AEH = \triangle ADH$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\rightarrow \widehat{EAH} = \widehat{DAH}$ ($2$ góc tương ứng) và $HE = HD$ ($2$ cạnh tương ứng)

* Vì $\widehat{EAH} = \widehat{DAH}$ (cmt)

$\to AH$ là phân giác của $\widehat{BAC}$ (đpcm)

* Gọi $K$ là giao của $AH$ và $ED$

* Xét $\triangle AEK$ và $\triangle ADK$ có:

$+)$ $AE = AD \quad (cmt)$

$+)$ $\widehat{EAK} = \widehat{DAK}$ (do $AH$ là phân giác)

$+)$ $AK$ chung

$\rightarrow \triangle AEK = \triangle ADK \text{ (c.g.c)}$

$\rightarrow KE = KD$ ($2$ cạnh tương ứng) và $\widehat{AKE} = \widehat{AKD}$ ($2$ góc tương ứng)

mà $\widehat{AKE} + \widehat{AKD} = 180^\circ$ ($2$ góc kề bù)

$\rightarrow \widehat{AKE} = \widehat{AKD} = 90^\circ$

$\rightarrow AK \perp ED$ tại $K$

* Vì $AH \perp ED$ tại trung điểm $K$ của $ED$

$\to AH$ là đường trung trực của $ED$ (đpcm)

$c)$ 

* Xét $\triangle HDC$ vuông tại $D$, ta có cạnh huyền $HC$ luôn là cạnh lớn nhất trong $\triangle$ vuông

$\to HD < HC$

$\rightarrow HE < HC \quad (\text{do } HE = HD)$

Vậy $HE < HC$

◌ $\color{#8B0000}{A}\color{#9F1200}{x}\color{#B32400}{e}\color{#C73600}{l}\color{#DB4800}{P}\color{#EF5A00}{h}\color{#FF6C00}{o}\color{#FF8500}{e}\color{#FF9E00}{n}\color{#FFB700}{i}\color{#FFD700}{x}$ ◌