$a)$ 

* Xét $\triangle AFP$ và $\triangle CFB$ có:

$+)$ $AF = CF$ (do $F$ là trung điểm của $AC$)

$+)$ $\widehat{AFP} = \widehat{CFB}$ ($2$ góc đối đỉnh)

$+)$ $PF = BF$ $(gt)$

$\rightarrow \triangle AFP = \triangle CFB \text{ (c.g.c)}$

$\to AP = BC$ (đpcm)

$b)$ 

* Xét $\triangle AEQ$ và $\triangle BEC$ có:

$+)$ $AE = BE$ (do $E$ là trung điểm của $AB$)

$+)$ $\widehat{AEQ} = \widehat{BEC}$ ($2$ góc đối đỉnh)

$+)$ $QE = CE$ $(gt)$

$\rightarrow \triangle AEQ = \triangle BEC \text{ (c.g.c)}$

$\rightarrow \widehat{EAQ} = \widehat{EBC}$ ($2$ góc tương ứng)

mà hai góc này ở vị trí so le trong

$\to BC // AQ$ (đpcm)

$c)$ 

* Vì $\triangle AFP = \triangle CFB$ (cmt)

$\to \widehat{FAP} = \widehat{FCB}$ ($2$ góc tương ứng)

mà hai góc ở vị trí so le trong 

$\to \widehat{FAP} = \widehat{FCB}$ 

$\to BC // AP$

* Ta có:

$+)$ $BC // AQ$ (cmt)

$+)$ $BC // AP$ (cmt)

$\to AP$ trùng $AQ$ (tiên đề Euclid)

$\to P, A, Q$ thẳng hàng (đpcm)

◌ $\color{#8B0000}{A}\color{#9F1200}{x}\color{#B32400}{e}\color{#C73600}{l}\color{#DB4800}{P}\color{#EF5A00}{h}\color{#FF6C00}{o}\color{#FF8500}{e}\color{#FF9E00}{n}\color{#FFB700}{i}\color{#FFD700}{x}$ ◌