$c)$ 

* Kẻ đường cao $AF$ của $\triangle ABC$

* Vì $H$ là giao của $2$ đường cao $BD$ và $CE$

$\to H$ là trực tâm của $\triangle ABC$

$\to AF \perp BC$ tại $F$

* Xét $\triangle BHF$ và $\triangle BCD$ có:

$+)$ $\widehat{BFH} = \widehat{BDC} = 90°$

$+)$ $\widehat{DBC}$ chung

$\rightarrow \triangle BHF \sim \triangle BCD \text{ (g.g)}$

$\rightarrow \frac{BH}{BC} = \frac{BF}{BD}$

$\rightarrow BH \cdot BD = BC \cdot BF \quad (1)$

* Xét $\triangle CHF$ và $\triangle CBE$ có:

$+)$ $\widehat{CFH} = \widehat{CEB} = 90°$

+) $\widehat{ECB}$ chung

$\rightarrow \triangle CHF \sim \triangle CBE \text{ (g.g)}$

$\rightarrow \frac{CH}{CB} = \frac{CF}{CE}$

$\rightarrow CH \cdot CE = BC \cdot CF \quad (2)$

* Lấy $(1) + (2)$

$\to BH \cdot BD + CH \cdot CE = BC \cdot BF + BC \cdot CF$

$\Leftrightarrow BC \cdot (BF + CF)$

mà $BF + CF = BC$

$\to BH \cdot BD + CH \cdot CE = BC \cdot BC = BC^2$ (đpcm)

◌ $\color{#8B0000}{A}\color{#9F1200}{x}\color{#B32400}{e}\color{#C73600}{l}\color{#DB4800}{P}\color{#EF5A00}{h}\color{#FF6C00}{o}\color{#FF8500}{e}\color{#FF9E00}{n}\color{#FFB700}{i}\color{#FFD700}{x}$ ◌