$1$) Ta có: 

$A = x^3 - 3x^2 + 3x + 1012$

$= x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 - 1^3 + 1013$

$= (x - 1)^3 + 1013$

Thay $x = 11$ vào $A$ ta được:

$A = (11 - 1)^3 + 1013 = 10^3 + 1013 = 1000 + 1013 = 2013$

Vậy $A = 2013$ khi $x = 11$

$2$) Ta có:

$B = x^3 - 6x^2 + 12x - 108$

$= x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 - 100$

$= (x - 2)^3 - 100$

Thay $x = 12$ vào $B$ ta được:

$B = (12 - 2)^3 - 100 = 10^3 - 100 = 1000 - 100 = 900$

Vậy $B = 900$ khi $x = 12$

$3$) Ta có:

$C = x^3 + 9x^2 + 27x + 2027$

$= x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 + 2000$

$= (x + 3)^3 + 2000$

Thay $x = -23$ vào $C$ ta được:

$C = (-23 + 3)^3 + 2000 = (-20)^3 + 2000 = -8000 + 2000 = -6000$

Vậy $C = -6000$ khi $x = -23$

$4$) Ta có:

$D = x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3$

$= x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2y + 3 \cdot x \cdot (2y)^2 + (2y)^3$

$= (x + 2y)^3$

Thay $x = -2y$ vào $D$ ta được:

$D = (-2y + 2y)^3 = 0^3 = 0$

Vậy $D = 0$ khi $x = -2y$