Đáp án:

Ta có $a^2+b^2=c^2$

$\Rightarrow a^2+b^2+2ab=c^2+2ab$

$\Rightarrow (a+b)^2-c^2=2ab$

$\Rightarrow (a+b-c)(a+b+c)=2ab$

$\Rightarrow \dfrac{ab}{a+b+c}=\dfrac{a+b-c}2$

Để $ab\ \vdots\ a+b+c\Rightarrow \dfrac{ab}{a+b+c}$ là số nguyên

$\Rightarrow \dfrac{a+b-c}2$ là số nguyên

Hay $a+b-c\ \vdots\ 2\Rightarrow a+b-c$ là số chẵn.

+) $a$ và $b$ cùng chẵn:

$\Rightarrow a^2+b^2$ là số chẵn $\Rightarrow c^2$ là số chẵn

$\Rightarrow c$ là số chẵn $\Rightarrow a+b-c$ là số chẵn.

+) $a$ và $b$ cùng lẻ:

$\Rightarrow a^2$ và $b^2$ cùng lẻ

$\Rightarrow a^2+b^2$ là số chẵn $\Rightarrow c^2$ là số chẵn

$\Rightarrow c$ là số chẵn $\Rightarrow a+b-c$ là số chẵn.

+) Vai trò của $a,b$ như nhau, giả sử $a$ là số lẻ, $b$ là số chẵn:

$\Rightarrow a^2$ là số lẻ, $b^2$ là số chẵn

$\Rightarrow a^2+b^2$ là số lẻ $\Rightarrow c^2$ là số lẻ

$\Rightarrow c$ là số lẻ $\Rightarrow b-c$ là số chẵn

$\Rightarrow a+b-c$ là số chẵn.

Vậy mọi cặp $(a,b,c)$ nguyên dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2$ đều thoả mãn điều phải chứng minh.