$a)$ 

* Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có:

$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2}$ (Đlý Pytago)

$\sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}\text{ cm}$

* Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, ta được:

$\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \rightarrow \widehat{B} = 60^\circ$

* Ta có: $\widehat{C} = 90^\circ - \widehat{B} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

Vậy $AC = 3\sqrt{3}\text{ cm}$, $\widehat{B} = 60^\circ$, $\widehat{C} = 30^\circ$

$b)$ 

* Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$, ta được:

$AB^2 = BH \cdot BC$ (hệ thức lượng)

$\rightarrow 3^2 = HB \cdot 6 \rightarrow HB = 1,5\text{ cm}$

* Ta có:

$HC = BC - HB = 6 - 1,5 = 4,5\text{ cm}$

Vậy $HB = 1,5\text{ cm}$ và $HC = 4,5\text{ cm}$

$c)$ 

* Xét $\triangle AHB$ vuông tại $H$ có đường cao $HE$, ta được:

$EA \cdot EB = HE^2$ (hệ thức lượng)

* Xét $\triangle AHC$ vuông tại $H$ có đường cao $HF$, ta được:

$AF \cdot FC = HF^2$ (hệ thức lượng)

$\rightarrow EA \cdot EB + AF \cdot FC = HE^2 + HF^2$

* Xét tứ giác $AEHF$ có:

$\widehat{EAF} = \widehat{AEH} = \widehat{AFH} = 90^\circ$

$\rightarrow AEHF$ là hình chữ nhật $(DHNB)$

$\rightarrow HF = AE \rightarrow HE^2 + HF^2 = HE^2 + AE^2$

* Xét $\triangle AEH$ vuông tại $E$ có:

$HE^2 + AE^2 = AH^2$ (Đlý Pytago)

$\rightarrow EA \cdot EB + AF \cdot FC = AH^2 \quad (1)$

* Xét $\triangle AEH$ vuông tại $E$ có:

$\sin \widehat{HAE} = \frac{HE}{AH} \rightarrow AH = \frac{HE}{\sin \widehat{HAE}}$

$\rightarrow AH^2 = \left(\frac{HE}{\sin \widehat{HAE}}\right)^2 \quad (2)$

* Từ $(1)$ và $(2)$, ta được:

$EA \cdot EB + AF \cdot FC = \left(\frac{HE}{\sin \widehat{HAE}}\right)^2$ (đpcm)

༺ $\color{#0066FF}{k}\color{#1A75FF}{i}\color{#3385FF}{l}\color{#4D94FF}{l}\color{#66A3FF}{u}\color{#00CC66}{a}\color{#00DD55}{r}\color{#00EE44}{2}\color{#00FF33}{0}\color{#00FF00}{5}$ ༻