$a)$ 

* Xét $\triangle CAH$ và $\triangle CDA$ có:

+) $\widehat{ACD}$ chung

+) $\widehat{AHC} = \widehat{CAD} = 90^\circ$

$\rightarrow \triangle CAH \sim \triangle CDA \text{ (g.g)}$

$\rightarrow \frac{CA}{CD} = \frac{CH}{CA} \rightarrow AC^2 = CH \cdot CD \quad (1)$

* Ta có:

$+)$ $\widehat{DAH} + \widehat{D} = 90^\circ$ (do $\triangle ADH$ vuông tại $H$)

$+)$ $\widehat{CAH} + \widehat{DAH} = 90^\circ$ (do $\widehat{CAD} = 90^\circ$)

$\rightarrow \widehat{CAH} = \widehat{ADC}$

* Vì $ABCD$ là hình bình hành $(gt)$

$\rightarrow \widehat{ADC} = \widehat{ABC}$

* Do $A, H, I$ thẳng hàng

$\rightarrow \widehat{CAH} = \widehat{CAI}$

$\rightarrow \widehat{CAI} = \widehat{ABC}$

* Xét $\triangle ABC$ và $\triangle IAC$ có:

$+)$ $\widehat{ACB} = \widehat{ICA} = 90^\circ$

$+)$ $\widehat{ABC} = \widehat{CAI}$ $(cmt)$

$\rightarrow \triangle ABC \sim \triangle IAC \text{ (g.g)}$

$\rightarrow \frac{AC}{CI} = \frac{BC}{AC} \rightarrow AC^2 = CB \cdot CI \quad (2)$

* Từ $(1)$ và $(2)$, ta được:

$AC^2 = CH \cdot CD = CB \cdot CI$ (đpcm)

$b)$ 

* Xét $\triangle AHC$ và $\triangle ACI$ có:

$+)$ $\widehat{AHC} = \widehat{ACI} = 90^\circ$

$+)$ $\widehat{CAH}$ chung

$\rightarrow \triangle AHC \sim \triangle ACI \text{ (g.g)}$

$\rightarrow \frac{AH}{AC} = \frac{AC}{AI} \rightarrow AH \cdot AI = AC^2 \quad (3)$

* Xét $\triangle ADH$ và $\triangle ADC$ có:

$+)$ $\widehat{AHD} = \widehat{CAD} = 90^\circ$

$+)$ $\widehat{ADC}$ chung

$\rightarrow \triangle ADH \sim \triangle ADC \text{ (g.g)}$

$\rightarrow \frac{AD}{CD} = \frac{DH}{AD} \rightarrow DH \cdot DC = AD^2 \quad (4)$

* Lấy $(3)$ $+$ $(4)$, ta được:

$AH \cdot AI + DH \cdot DC = AC^2 + AD^2$

* Xét $\triangle ADC$ vuông tại $A$ có:

$AC^2 + AD^2 = CD^2$ (Đlý Pytago)

$\rightarrow AH \cdot AI + DH \cdot DC = CD^2 \quad (5)$

* Xét $\triangle ABC$ và $\triangle IBA$ có:

$+)$ $\widehat{IBA}$ chung

$+)$ $\widehat{ACB} = \widehat{IAB} = 90^\circ$

$\rightarrow \triangle ABC \sim \triangle IBA \text{ (g.g)}$

$\rightarrow \frac{BC}{AB} = \frac{AB}{BI} \rightarrow BC \cdot BI = AB^2$

* Vì $ABCD$ là hình bình hành $(gt)$

$\rightarrow AB = CD \rightarrow BC \cdot BI = CD^2 \quad (6)$

* Từ $(5)$ và $(6)$, ta được:

$AH \cdot AI + DH \cdot DC = BC \cdot BI$ (đpcm)

$c)$ 

* Xét $\triangle AHC$ và $\triangle DHA$ có:

$+)$ $\widehat{AHC} = \widehat{DHA} = 90^\circ$

$+)$ $\widehat{CAH} = \widehat{ADH}$

$\rightarrow \triangle AHC \sim \triangle DHA \text{ (g.g)}$

$\rightarrow \frac{AH}{DH} = \frac{HC}{AH} \rightarrow AH^2 = HC \cdot HD$

* Ta có:

$S_{ADC} = \frac{1}{2} AC \cdot AD = \frac{1}{2} AH \cdot CD$

$\rightarrow AH = \frac{AC \cdot AD}{CD}$

$\rightarrow \frac{1}{AH^2} = \frac{CD^2}{AC^2 \cdot AD^2} = \frac{AC^2 + AD^2}{AC^2 \cdot AD^2} = \frac{1}{AD^2} + \frac{1}{AC^2} \quad (7)$

* Ta có:

$S_{IAB} = \frac{1}{2} AB \cdot AI = \frac{1}{2} AC \cdot BI$

$\rightarrow AC = \frac{AB \cdot AI}{BI}$

$\rightarrow \frac{1}{AC^2} = \frac{BI^2}{AB^2 \cdot AI^2} = \frac{AB^2 + AI^2}{AB^2 \cdot AI^2} = \frac{1}{AI^2} + \frac{1}{AB^2} \quad (8)$

* Từ $(7)$ và $(8)$

$\rightarrow \frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AD^2} + \frac{1}{AI^2} + \frac{1}{AB^2}$

$\rightarrow \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AD^2} = \frac{1}{AH^2} - \frac{1}{AI^2} \quad (9)$

* Thay $AH^2 = HC \cdot HD$ $(cmt)$ vào $(9)$, ta được:

$\frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AD^2} = \frac{1}{HC \cdot HD} - \frac{1}{AI^2}$ (đpcm)