Đáp án + Giải thích các bước giải:

Từ giả thiết $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = 2$, ta bình phương 2 vế:

$(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})^2 = 4$

$\Leftrightarrow (a + b + c) + 2(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}) = 4$

Thay $a + b + c = 2$ vào, ta được:

$2 + 2(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}) = 4 \implies \mathbf{\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} = 1}$

 Thay $1 = \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}$ vào biểu thức $1 + a$:

$1 + a = (\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}) + a = \sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) + \sqrt{c}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = \mathbf{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{c})}$

$1 + b = (\sqrt{b} + \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{c})$

$1 + c = (\sqrt{c} + \sqrt{a})(\sqrt{c} + \sqrt{b})$

- Xét Vế Phải (VP):

Tích dưới dấu căn ở mẫu là:

$(1+a)(1+b)(1+c) = [(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c}+\sqrt{a})]^2$

$\implies \text{VP} = \frac{2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}$

- Xét Vế Trái (VT):

$\text{VT} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{c}) + \sqrt{b}(\sqrt{c}+\sqrt{a}) + \sqrt{c}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}$

$\text{VT} = \frac{2(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}$

Vì $\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} = 1$ nên tử số của VT bằng $2 \cdot 1 = 2$

Vậy ta thấy $\text{VT} = \text{VP} = \frac{2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}$ 

⇒ $\frac{\sqrt{a}}{1+a} + \frac{\sqrt{b}}{1+b} + \frac{\sqrt{c}}{1+c} = \frac{2}{\sqrt{(1+a)(1+b)(1+c)}}$ ( đpcm )