Theo đề bài, giả sử \(n + 1955\) và \(n + 2014\) đều là các số chính phương.
Đặt:
\(\begin{cases}n+1955=a^{2}\quad (1)\\ n+2014=b^{2}\quad (2)\end{cases}\) (với \(a, b \in \mathbb{N}\))

Không mất tính tổng quát, giả sử \(b > a \ge 0\).

Lấy (2) trừ (1) theo vế, ta được:
\(b^2 - a^2 = (n + 2014) - (n + 1955)\)
⇒\((b - a)(b + a) = 59\)

Vì \(a, b \in \mathbb{N}\) và \(b > a\) nên \((b - a)\) và \((b + a)\) là các số nguyên dương.
Mặt khác, ta luôn có: \(b + a > b - a > 0\).

Ta có : 
\(\begin{cases}b+a=59\\ b-a=1\end{cases}\)

Cộng hai phương trình trên theo vế, ta được:
\((b + a) + (b - a) = 59 + 1\)
⇒\(2b = 60\)
⇒\(b = 30\)

Thay \(b = 30\) vào phương trình \(b - a = 1\), ta được:
\(30 - a = 1 \Rightarrow a = 29\) (thỏa mãn điều kiện \(a, b \in \mathbb{N}\)).

Thay \(a = 29\) vào phương trình (1), ta được:
\(n + 1955 = 29^2\)
\(n + 1955 = 841\)
\(n = 841 - 1955\)
\(n = -1114\)

Vậy số nguyên n cần tìm là \(n = -1114\).